第141章 拉普拉斯方程函數

  傅裏葉很驕傲的認為，任何一個周期信號都可以展開成傅裏葉級數。


  雖然很多人都認為有爭議，但卻沒有有力論據。


  狄利克雷對傅裏葉說：“不是所有的周期信號都可以展開成傅裏葉級數。”


  傅裏葉說：“什麽樣的不可以。”


  狄利克雷說：“周期裏帶一些古怪的無窮大的，就不可以。”


  傅裏葉說：“如何的古怪法？”


  狄利克雷說：“聽說過間斷點吧。”


  間斷點有第一類間斷點和第二類間斷點：

  第一類間斷點的左極限和右極限都是存在的，有可去間斷點和跳躍間斷點。


  第二類間斷點指函數的左右極限至少有一個不存在，有無窮間斷點，振蕩間斷點，單側間斷點，狄利克雷函數間斷點。


  傅裏葉從沒細細考慮過這個，覺得狄利克雷轉牛角尖說：“我知道，可去間斷點難道不可以展開成傅裏葉級數嗎？跳躍間斷點難道不可以展開成傅裏葉級數嗎？”


  狄利克雷說：“無窮間斷點不可以，單側間斷點不可以。”


  狄利克雷話還沒說完，傅裏葉打斷：“等等，還有狄利克雷函數間斷點。你這個函數既不連續，有不可導，當然不可以了。”說完二人哈哈大笑。


  狄利克雷說：“所以，想要讓周期函數能展開成傅裏葉級數，要麽函數連續，要麽隻有幾個第一類間斷點。”


  傅裏葉說：“是的，我不會去處理第二類間斷點這麽麻煩的東西。”


  狄利克雷說：“在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個。”


  傅裏葉說：“你的意思是，如果是無限個最大值和最小值，我的就處理不過來？”


  狄利克雷說：“還有一個條件是，信號是絕對可積的。”


  傅裏葉說：“還有不可積的周期函數？”


  狄利克雷寫出了不可積函數，sinx/x求x積分，sinx^2求x積分等函數。


  狄利克雷條件是一個信號存在傅裏葉變換的充分不必要條件。狄利克雷條件括三方麵：

  （1）在一周期內，連續或隻有有限個第一類間斷點；


  （2）在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個；

  （3）在一周期內，信號是絕對可積的。