第232章 遁入虛空馬負乘 女友代搶狗馬濤 搶不到票馬飛嘯 氣定神閑老馬焦
2020年8月19日，周三，下午有雨。
??7.1 微分方程的基本概念
??定義1。y、y"、x。未知函數是一元函數的微分方程，稱為常微分方程。相應的，未知函數是多元函數的微分方程，稱為偏微分方程（本章不討論）。
??定義2。微分方程的階。最高y"是一階，最高y""的稱二階微分方程……。次數根階數不要混淆。
??微分方程找的是函數。未知函數是微分方程的解。
??如果微分方程的解中含有任意常數，且任意常數的個數與微分方程的階數相同，這樣的解叫做微分方程的通解，其中的任意常數必須是相互獨立的，即不能合並而使任意常數的個數減少.——微分方程的通解《高等數學》
??用於確定通解中任意常數的條件，稱為初始條件。確定了通解中的任意常數以後，就得到微分方程的特解，即不含任意常數的解。
??7.2 可分離變量的微分方程
??一、定義。define-能寫成以下形式的微分方程
??g(y)dy=f(x)dx或y"=φ(x)ψ(y)
??二、解法
??1.分離變量；2.兩端積分；3.對G(y)=F(x)+C進行適當整理.
??記得加C。
??例1
??……
??我覺得可以用其他科目來豐富一下學習體驗了，不然太容易倦怠了。
??……
??導學篇.考研英語長線備考規劃。有點傻玩意。前奏課。傻乎乎的。算了還是去看看考研政治吧。
??考研政治72分備考規劃。
??英語。
??……
??還是數學好。
??例1例2例3
??……
??7.3 齊次微分方程
??一、dy/dx=φ(y/x)，y與x次數相同。
??二、解法：
??令u=y/x，y=ux，則dy/dx=u+xdu/dx，則方程轉化為：u+xdu/dx=φ(u)
??分離變量、兩端積分、求出後再用y/x代替u。
??例1例2例3
??7.4 一階線性微分方程
??一、一階齊次線性微分方程（First order homogeneous linear differential equation）
??㈠定義definition
??dy/dx+P(x)y=0一階齊次線性微分方程
??㈡解法及通解公式
??dy/dx=-P(x)·y得dy/y=-P(x)dx
??y=C·e^(-∫P(x)dx)
??例1例2
??二、一階非齊次線性微分方程
??㈠definition
??dy/dx+P(x)y=Q(x)
??㈡解法
??常數變易法
??y={∫Q(x)·e^(∫P(x)dx)dx+C}e^(-∫P(x)dx)
??例1例2
??7.5 可降階的高階微分方程
??一、y(?)=f(x)型
??二、y""=f(x，y")缺y型
??令y"=p，則y""=p"，化為
??p"=f(x，p)得p=φ(x，C?)，即dy/dx=φ(x，C?)
??∴y=∫φ(x，C?)dx+C?.
??例1例2
??三、y""=f(y，y")缺x型
??令y"=p，則y""=dp/dx=p·(dp/dy)，
??原方程化為p·(dp/dy)=f(y，p)
??通解：∫dy/φ(y，C?)=x+C?
??例1
??7.6 高階線性微分方程
??一、
??1.n階齊次線性微分方程
??2.n階非齊次線性微分方程
??3.兩個函數不成比例，線性無關
??比為常數，線性相關。
??二、齊次和非齊次線性微分方程解的結構
??1Th1，若φ?(x)、φ?(x)是二階齊次線性微分方程的兩個解，則
??y=C?φ?(x)+C?φ?(x)也是齊次方程的解，其中C?、C?為任意常數.
??2Th2，若φ?(x)是二階齊次線性微分方程的解，φ?(x)是二階非齊次線性微分方程的解則
??y=C?φ?(x)+C?φ?(x)也是二階非齊次線性微分方程的解，其中C?、C?為任意常數.
??3Th3，若φ?(x)、φ?(x)是二階非齊次線性微分方程的解則
??y=φ?(x)-φ?(x)是二階齊次線性微分方程的解，其中C?、C?為任意常數.
??對y""+a(x)y"+b(x)y=f(x)，記②
??If，f(x)=f?(x)+f?(x)，則
??y""+a(x)y"+b(x)y=f?(x)，記②"
??y""+a(x)y"+b(x)y=f?(x)，記②""
??4Th4，若φ?(x)、φ?(x)為②"、②""的解，則y=C?φ?(x)+C?φ?(x)為②的解.
??5Th5，①若φ?(x)、φ?(x)是二階齊次線性微分方程的兩個線性無關解，則
??y=C?φ?(x)+C?φ?(x)是齊次方程的通解，其中C?、C?為任意常數.
??②若φ?(x)、φ?(x)是二階齊次線性微分方程的兩個線性無關解，φ?(x)為二階非齊次線性微分方程的一個特解，則
??y=C?φ?(x)+C?φ?(x)+φ?(x)是二階非齊次線性微分方程的通解，其中C?、C?為任意常數.
??7.7 常係數齊次線性微分方程
??y""+py"+qy=0*
??其中p、q為常數，稱*為二階常係數齊次線性微分方程。
??……
??留兩個視頻給明天吧，進度趕得上計劃，也不必太著急。
??……
??2020年8月20日，淩晨。
??其實這樣表述很生活化啊，“看不見你說啥”對於我們可能覺得違和，但對於其兄妹來說是相當常見且互相理解的句子，富有生活氣息。
??我以為，言以達意為佳，不需拘泥語法。所謂語法，不過是大多數人為普適性情況基於精確性、統一性等將習慣規定成的一種語言規範、規則。在特定場合特定人物的語言可以以互相理解為優先進行表述。——對《寫手小姐的筆上掛著屍體》進行的本章說。
??2020年8月20日，周四。
??搶到29號去學校的票了。害，鴿子窩裏我他喵車票最貴。
??7.7 二階常係數齊次線性微分方程
??λ2+pλ+q=0為*的特征方程
??Case1：p2-4q＞0則
??y?=e^(λ?x)，y?=e^(λ?x)是方程兩個線性無關解，因此
??y=C?e^(λ?x)+C?e^(λ?x)是*的通解。
??Case2：p2-4q=0
??y?=e^(λ?x)為*的解，還需找一個與y?線性無關的解y?。
??令y?/y?=u(x)（≠C），y?=u(x)y?，
??對y?求導：y?"=e^λ?x（u"+λ?u），
??y?""=e^λ?x（u""+2λ?u"+λ?2u），
??代入*，並整理
??u""+(2λ?+p)u"+(λ?2+pλ?+q)u=0.
??因為λ?為*二重根，則
??λ?2+pλ?+q=0，2λ?+p=0，得u""=0，
??因為u(x)隻要不是常數即可，不妨取簡單的函數u(x)=x，得到*的另一個解y?=xe^λ?x.
??因此通解為：
??y=C?e^(λ?x)+C?xe^(λ?x)
??y=e^(λ?x)（C?+C?x）.
??Case3：Δ=p2-4q＜0
??λ2+pλ+q=0得λ?，?=α±iβ，y?=e^[(α+iβ)x]，y?=e^[(α-iβ)x]為*的解.
??利用歐拉公式e^iθsθ+isinθ把y?、y?改寫為：
??y?=e^[(α+iβ)x]=sβx+isinβx)e^αx，
??y?=e^[(α-iβ)x]=sβx-isinβx)e^αx，
??上一節有↓
??1Th1，若φ?(x)、φ?(x)是二階齊次線性微分方程的兩個解，則
??y=C?φ?(x)+C?φ?(x)也是齊次方程的解，其中C?、C?為任意常數.
??所以根據↑，有：
??Y?=1/2(y?+y?)sβxe^(αx)，
??Y?=1/(2i)(y?-y?)=sinβxe^(αx)是*的兩個線性無關解，因此*的通解為：
??y=（Csβx+C?sinβx）e^(αx).
??綜上，第一步，寫特征方程λ2+pλ+q=0。第二步，求λ?、λ?。第三步，根據兩根情況按表格寫通解。步驟及表格《高等數學上冊》p246
??推廣到n階常係數齊次線性微分方程《高等數學上冊》p247。
??7.8 常係數非齊次線性微分方程
??y""+py"+qy=0*二階常係數齊次線性微分方程
??y""+py"+qy=f(x)**二階常係數非齊次線性微分方程
??**通解：
??第一步，求齊次的通解，
??第二步，求非齊次的一個特解y?(x)，
??第三步，非齊通解為齊次通解加非齊次特解y?(x)。
??所以這一節核心任務為找非齊次特解y?(x)。
??一、**中f(x)為Pn(x)e^kx
??例1
??特解按右邊的樣子假設，代入得特解。原方程通解得。
??例2有λ與原方程e指數的係數k相同則假設多乘一個x。代入得特解具體函數。
??例3兩個λ與原方程e指數的係數k相同則乘x2。代入得特解具體函數。
??例4沒見到e^kx，那就是k=0。
??二、**中f(x)為e^dx[多項式s(βx)+多項式×sin(βx)]
??例1假設特解：指數函數提出去、按照剩下樣子假設（sins都要有）、代入。
??例2沒有e^(αx)，就是α=0，不要，看λ有沒有相同的，有一個乘1個x。
??例3
??例4
??這一章需要多實踐。
??行吧第七章結束、高數上冊結束。舒服了。
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