第231章 又是馬飛吐槽數學 馬負乘背地學習 馬濤答疑解惑 焦某人沉默的一天
5.3 定積分的換元積分法與分部積分法
??回顧不定積分的換元積分法不定積分分部積分法
??一、換元積分法
??Th，f(x)∈C[a，b]，x=φ(t)滿足：
??①φ(t)單調函數，且φ(α)=a，φ(β)=b；
??②x=φ(t)連續可導，則
??∫a，bf(x)dx
??=∫α，βf[φ(x)]φ"(x)dt
??證明……左邊=……右邊=……
??例1例2例3
??重點例4f(x)∈C[-a，a]，證：
??①∫-a，af(x)dx=∫0，a[f(-x)+f(x)]dx；
??②若f(-x)=f(x)，則
??∫-a，af(x)dx=2∫0，af(x)dx；
??③若f(-x)=-f(x)，則
??∫-a，af(x)dx=0.
??例5
??例6f(x)∈C[0，1]，證：
??①∫0，π/2f(sinx)dx
??=∫0，π/2fsx)dx
??②∫0，πxf(sinx)dx
??=π/2∫0，πf(sinx)dx
??注解
??①要證明一個積分限為[-a，0]變成積分限為[0，a]的，作x=-t變換
??②證明積分限[a，b]不變的，作x+t=a+b
??③證明[a，a+b]變成[0，b]的，作x-a=t
??例7
??例8設f(x)，以T為周期，證：
??①∫a，a+Tf(x)dx=∫0，Tf(x)dx周期函數定積分的平移性質
??②∫0，nTf(x)dx=n∫0，Tf(x)dx.
??二、分部積分法
??∫a，budv=uv|a，b-∫a，bvdu
??例1例2
??重要例3令In=∫0，π/2sin^(n)xdx=∫0，π/2s^(n)xdx.
??證：In=[(n-1)/n]I(n-?)
??證明……
??注解令In=∫0，π/2sin^(n)xdx=∫0，π/2s^(n)xdx.
??①In=[(n-1)/n]I(n-?)每使用一次降兩次
??②I?=π/2，I?=1.
??例4求∫0，π/2sin12xdx
??例5求∫0，π/2s11xdx
??5.3結束。下麵看第四節。
??5.4 反常積分廣義積分
??前麵所討論的定積分及其應用都是在有限的積分區間和被積函數有界(特別是連續)的條件下進行的，在科學技術和經濟管理中常需要處理積分區間為無限區間或被積函數在有限區間上為無界函數的積分問題，這兩種積分被稱為反常積分，相應地，前麵討論的積分稱為常義積分.——《高等數學》
??先講注解。define。收斂於A，其實就是等於A。極限不存在，反常積分發散，就是不存在。
??例1
??……………………………………
??2020年8月19日。周三。
??早上被社區廣播吵醒了。
??今天的夢又是令我耳目一新。變成女孩子在女子學校上學，就教學內容來看應該接近高中。原來女孩子之間也有欺負啊，還有並不是所有女孩子都是小仙女，哇，原來還有這樣令人討厭的女的，我不知道女生間是不是真的那樣相處，但總歸像是做了一場夢，醒來後還是覺得像是短暫穿越附身。大概有兩段劇情，一段是課堂活動，包括課堂上、課間還有午餐。另一段劇情是舞蹈課。說到這又想起來還有個夢，在女校前麵還有個正常的奇幻夢。有點像真人遊戲，帶點恐怖的，但又有溫暖的元素，值得一提的是第一次夢見馬濤，他在這個大型遊戲世界很熟的樣子，遊刃有餘。至於為什麽夢見馬濤，我覺得是最近馬濤老是在群裏每天翻新搞人心態給我留下來深刻的心靈印記。
??……
??午餐，土豆塊幹燜辣排骨、冬瓜、豆芽、辣椒豆幹、魚塊、饃饃。
??……
??八卦也並不都無聊，有的還蠻有意思的。打麻將經濟流動是一方麵、消遣是一方麵、信息的產生與傳播所構建的社交才是娛樂點。
??……
??馬飛昨天卸載了遊戲。
??……
??今天的計劃是看完反常積分結束第五章，然後開啟第六章。總共上冊7章，下5五章。加快進度吧。
??……
??5.4例1……斂散性
??例2例3例4
??注解Γ-函數
??1.define，形如∫0，+∞x^(α-1)e^-xdx=Γ(α)
??如：∫0，+∞x^5·e^-xdx=Γ(6)
??又如：∫0，+∞x^(1/2)·e^-xdx=Γ(3/2)
??2.特性：
??①Γ(α+1)=αΓ(α)；
??②Γ(n+1)=n!；
??③Γ(1/2)=(π)^?.
??本例1例2例3
??二、無界函數的反常積分
??三種情形。左邊、右邊、中間……瑕點。本例1例2例3例4
??第五章結束。
??第六章，定積分的應用。
??主要是兩個方麵應用，一個是幾何應用，一個是物理方麵的應用。
??第一節元素法。6.1元素法。當然，視頻課程章節安排與我使用的教材內容安排有差異。比如上冊教材隻第〇章預備知識和五章內容，而視頻課程有七章，其實隻是把教材的一元函數積分學及其應用分為了不定積分、定積分、定積分的應用三章。實際上冊內容還是上冊內容。
??好的元素法結束。下麵來看幾何應用。
??6.2 幾何應用
??一、麵積
??1.f(x)例12.f(x)，g(x)例2例3
??……
??困了，睡一會兒。
??……
??好的果然又困又睡不著，也好，如果睡得著一天就過去了。
??……
??3.極坐標例4例5
??二、旋轉體的體積
??1.旋轉體的體積
??①Vx：π∫a，bf2(x)dx例1例2擺線的一拱
??②Vy：2π∫a，b|x||f(x)|dx例2
??2.截可積已知幾何體體積
??3.弧長
??1.ds=(1+y"2)^?例12.參數形式ds=(φ"2(x)+ψ"2(x))^?
??下麵進行下一節。
??6.3 定積分在物理學上的應用
??隻討論兩個方麵，一個功，一個力。
??一、功（變力沿直線做功）
??1. 2. 3.
??二、力（壓力、引力）
??1. 2.
??好的，第六章解決，又進入了一個大章。
??第七章，微分方程。
??由牛頓和萊布尼茨創立的微積分是科學史上劃時代的重大發現，而微積分的產生和發展與人們求解微分方程的需要有密切聯係.所謂微分方程，就是聯係著自變量、未知函數和未知函數的導數的方程.物理、化學、生物學、工程技術和某些社會科學中的大量問題加以精確的數學描述後，往往會出現微分方程.微分方程建立以後，找出未知函數來，這就是解微分方程.本章主要介紹微分方程的一些基本概念和幾種常用的微分方程解法.——《高等數學》
??第一節，微分方程的基本的基本概念
??等式、方程。微分方程。舉例。這個先到這兒。下麵的一會兒再看。
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