第225章 說著沒人打卡還不如解散群的馬飛其實是想表達最近大家都不認真打卡了
2020年8月14日。
??三個中值定理，羅爾、拉格朗日、柯西。層層遞進。羅爾是端點相等有其中一點導數等於0，而把這兩點傾斜就變成了拉格朗日，其中肯定存在和斜線平行的，繼續變成兩個函數除的話，就直接是中間導數除。我是這樣理解。
??例2f(x)二階可導，lim(x→0)f(x)/x=0，f(1)=0，求證：?ξ∈(0，1)，使f""(ξ)=0.
??證明：
??1°，
??∵lim(x→0)f(x)/x=0，
??∴lim(x→0)f(x)=0，
??可導一定連續
??又∵f(x)連續，
??極限值等於函數值
??∴f(0)=0
??0=lim(x→0)f(x)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=f"(0)，
??∴f(0)=0，f"(0)=0，
??2°，
??∵f(0)=f(1)=0，
??∴?c∈(0，1)，使f"(c)=0，
??3°，
??∵f"(0)=f"(c)=0，
??∴?ξ∈(0，c)?(0，1)，使f""(ξ)=0.
??例3證明：x＞0時，e^x＞1+x.
??證：令f(t)=e^t，f"(t)=e^t.
??對x＞0，f(x)-f(0)=f"(ξ)(x-0)，(0＜ξ＜x)
??即e^x-1=xe^ξ.
??∵ξ＞0，∴e^ξ＞1.
??∴e^x-1=xe^ξ＞x
??即e^x＞1+x，(x大於0)
??例40＜a＜b，證(b-a)/b＜lnb/a＜(b-a)/a，
??這道題看起來一籌莫展，如果見到三個，要有兩個拉格朗日的想法
??證明：令f(x)=lnx，f"(x)=1/x≠0，(a＜x＜b)，
??lnb/a=lnb-lna=f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)=(b-a)/ξ
??∵a＜ξ＜b
??∴1/b＜1/ξ＜1/a
??推出
??(b-a)/b＜(b-a)/ξ＜(b-a)/a
??∴(b-a)/b＜lnb/a＜(b-a)/a.
??好的到這裏3.1微分中值定理就結束了。
??下一節是3.2 洛必達法則。
??對於0/0型求極限，等價無窮小是有局限性的。
??目標：0/0，∞/∞極限的新方法。
??Th1.（0/0型）
??若①f(x)、F(x)在x=a的去心鄰域內可導且F"(x)≠0；
??②lim(x→a)f(x)=0，lim(x→0)F(x)=0；
??③lim(x→a)f"(x)/F"(x)=A，
??則lim(x→a)f(x)/F(x)=A，
??……
??晚餐日常剩菜。
??……
??筆記lim(x→a)f(x)與f(a)無關。
??……
??Th1證明：利用柯西中值定理
??將f(x)、g(x)在x0作連續延擴（不影響定理證明也不影響極限值），則滿足柯西中值定理條件，則定理得證
??例1lim(x→0)(x-sinx)/x3
??解：原式=lim(x→0)(1sx)/3x2
??=1/61sx∽1/2 x2
??例2在本子上寫了。略
??例3在本子上寫了。略
??Th2.（∞/∞）
??若①f(x)、F(x)在x=a的去心鄰域內可導且F"(x)≠0；
??②lim(x→a)f(x)=∞，lim(x→0)F(x)=∞；
??③lim(x→a)f"(x)/F"(x)=A，
??則lim(x→a)f(x)/F(x)=A，
??證明略
??例1lim(x→0?)xlnx.
??解：lim(x→0?)xlnx
??=lim(x→0?)lnx/(1/x)
??=lim(x→0?)1/x/(-1/x2)
??=lim(x→0?)-x
??=0.
??例2lim(x→0?)x^sinx，
??〇的〇次方，立馬來一個e^ln
??解：原式=e^lim(x→0?)sinxlnx
??∵lim(x→0?)sinxlnx
??=lim(x→0?)lnx/cscx
??=lim(x→0?)(1/x)/(-cscxtx)
??=-lim(x→0?)sinxtanx/x
??=-lim(x→0?)x2/x
??=0
??∴原式=e^0=1.
??例3
??lim(x→+∞)lnx/x^a，（a＞0）
??=0
??例4lim(x→+∞)x3/e^x=0.
??注解
??①lim(x→+∞)lnx/x^a=0（a＞0）
??②lim(x→+∞)x^a/b^x=0（a＞0，b＞1）
??③f(x)→0，F(x)→0，（x→a）
??若lim(x→a)f"(x)/F"(x)不存在，
??隻能說明洛必達法則不能使用，但lim(x→a)f(x)/F(x)不一定不存在。
??如：f(x)=x+sinx，F(x)=x，
??lim(x→0)f(x)=0，lim(x→0)F(x)=0，
??且lim(x→0)f"(x)/F"(x)=lim(x→0)(1sx)不存在，
??而lim(x→0)f(x)/F(x)=2.
??洛必達就到這裏吧。
??看3.3 Taylor公式泰勒公式
??……
??Th（Taylor）泰勒泰勒公式或泰勒中值定理
??設f(x)在x=x0鄰域內n+1階可導，
??則f(x)=Pn(x)+Rn(x).
??其中Pn(x)=f(x0)+f"(x0)(x-x0)+{f""(x0)/2!}(x-x0)2+…+{[f(x)在x0處n階導數]/n!}(x-x0)^n.
??Rn={f(n+1階)(ξ)/(n+1)!}(x-x0)^(n+1)，ξ介於x0與x之間。拉格朗日型餘項
??證明
??思路還行。柯西中值定理。多項式。
??寫起來太麻煩了，不寫。
??特殊情況麥克勞林公式若x0=0則f(x)=f(x0)+f"(x0)x+{f""(x0)/2!}x2+…+{[f(x)在x0處n階導數]/n!}x^n+Rn
??推論若f(x)在x=x0鄰域內n階可導，則對?的x0去心鄰域內的點x，有
??f(x)=Pn(x)+o((x-x0)^n)
??證明：寫起來太麻煩，不寫。一串一串的。
??……
??Rn(x)可以寫成拉格朗日型餘項，也可以寫成佩亞諾(Peano)型餘項o((x-x0)^n).
??……
??基本思想f(x)在x=x0鄰域內n+1階可導，找Pn(x)與f(x)近似相等，滿足在這一點，多項式值等於函數值，1到n階導數也相等，這時f(x)=Pn(x)+Rn(x).
??
??特殊情況x0=0時就變成麥克勞林公式。
??1.f(x)=e^x的n階麥克勞林公式
??解：e^x=1+x+x2/2+…+x^n/n!+o(x^n).
??例1求lim(x→0)[e^(-x2/2)-1+x2/2]/x?
??本子上做。
??2.f(x)=sinx的麥克勞林公式
??sinx=x-(1/3!)x3+(1/5!)x?-(1/7!)x?+…+[(-1)^n/(2n+1)!]x^(2n+1)+o(x^(2n+1)).
??例2求lim(x→0)(x-sinx)/x3
??解：1/6
??例3本子
??常用泰勒公式
??①e^x=1+x+x2/2+…+x^n/n!+o(x^n)
??②sinx=x-(1/3!)x3+(1/5!)x?-(1/7!)x?+…+[(-1)^n/(2n+1)!]x^(2n+1)+o(x^(2n+1))
??sx=1-(1/2!)x2+(1/4!)x?-(1/6!)x?+…+[(-1)^n/(2n)!]x^(2n)+o(x^(2n))
??④1/(1-x)=1+x+x2+x3+…
??⑤1/(1+x)=1-x+x2-x3+…
??⑥ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-x?/4+…
??例4本子
??……
??麥克勞林公式太漂亮了。
??下麵就是
??3.4 函數的單調性與曲線的凹凸性
??又是雙子題目。單調性、凹凸性。
??目前可以公布的情報
??……
??第三章叫微分中值定理及其導數的應用。
??我們通過前三節的學習可以感覺到它的第一部分：中值定理。
??包括羅爾(中值)定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，還有泰勒中值定理（泰勒公式）。這四個中值定理衍生出了兩種解決極限的方法，一個是洛必達法則，一個是泰勒公式（麥克勞林公式）。中值定理可以有證明之類的，洛必達和麥克勞林現在主要用於求極限。
??……
??好繼續看第四節。
??一、函數單調性
??……
??今天先到這裏吧。看了四個視頻，3.1微分中值定理有兩個視頻，3.2洛必達法則，3.3泰勒公式。明天的基礎計劃是3.4兩個視頻、3.5、3.6，如果可以的話繼續看3.7，那就能明天結束第三章了。
??……
??2020年8月15日。
??沒有夢，很失望。我姐又來了。所以煩人的小外甥又來了，所以我不能在一樓大廳學習了。回二樓臥室，隔壁的wifi就很弱了。
??一、函數單調性
??很熟悉，中學已經接觸過了。
??我隻看看，不寫了。
??例1y=f(x)=x2-4x+11的單調性。
??解：第一步自變量的範圍
??第二步求一階導數並分析
??令一階導數=0或不存在的點
??判斷一階導數一定要用開區間
??結論，閉區間
??例2y=f(x)=x3-3x2-9x+2的單調性。
??解：x∈(-∞，+∞)
??f"(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)
??令f"(x)=0，x=-1或x=3.
??當x∈(-∞，-1)時，f"(x)＞0，f(x)在(-∞，-1]上單調遞增；
??當x∈(-1，3)時，f"(x)＜0，f(x)在[-1，3]上單調遞減；
??當x∈(3，+∞)時，f"(x)＞0，f(x)在[3，+∞)上單調遞增.
??例3y=(x2)^1/3的單調性。
??解：x∈(-∞，+∞)
??f"(x)=(x^2/3)"=2/3x^(-1/3)≠0
??f(x)在x=0處不可導，
??當x∈(-∞，0)，f"(x)＜0，則f(x)在(-∞，0]上單調遞減；
??當x∈(0，+∞)，f"(x)＞0，則f(x)在[0，+∞)上單調遞增.
??這3個例題很差，下麵的題目提供重要思想。
??例4證明：當x＞0時，x/(1+x)＜ln(1+x)＜x.
??證明：證明三項的不等式，可以分為兩個不等式
??首先我們來看一下右邊的不等式
??令f(x)=x-ln(1+x)，f(0)=0.
??f"(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)＞0，(x＞0)
??推出f(x)在[0，+∞)單調遞增，
??當x＞0時，f(x)＞f(0)=0推出ln(1+x)＜x；
??令g(x)=ln(1+x)-x/(1+x)，g(0)=0.
??g"(x)=1/(1+x)-1/(1+x)2=x/(1+x)2＞0，(x＞0)
??則g(x)在[0，+∞)單調遞增，
??當x＞0時，g(x)＞g(0)=0推出x/(1+x)＜ln(1+x).
??則原式得證。
??例5e＜a＜b，證：a^b＞b^a.
??好了我去吃午飯了，下一章再看這個例題。
書屋小說首發