第224章 看到老師發的35歲大齡程序員遭企業辭退狀況的我開始難以遏製地悲觀
2020年8月14日，周五。
??今天的夢還不錯，進入的輪回世界是一個輕小說或者有二次元風的世界，我作為主角的朋友看主角跟幾個女孩子的互動。女孩子沒看多少，我和主角倒是互動不少。我對主角和女生的互動心裏跟明鏡似的，不過沒打擾，為什麽我當男二這麽盡責？主要主角也不讓我接觸女生們。還有就是主角跟我互動老是像個娘們兒一樣各種玩鬧打我。最後的情節是我們丟瓶子扔進樓下的垃圾桶，我沒扔進去但相差無幾，主角則偏太遠了，扔的太近了，我就嘲笑主角力氣小。然後醒了。
??所以回過神來主角其實是女主？是女的？淦。我他喵完全像個傻子一樣把她當兄弟，隻是挺帥氣的兄弟。那……
??要是還有機會通過夢境進入這個輪回世界一定要和她好好互動互動。打我好多下我都記著的。不過為什麽住在一起我啥也沒發現呢？大概就是因為片段吧。
??……
??午餐青椒肉絲、麻辣魚塊、空心菜。
??……
??我日常受群裏馬濤壓迫。
??……
??好，來看高數第三章微分中值定理與導數的應用。
??第二章研究了導數、微分。
??從第三章題目可以看出有兩個內容，一個是微分中值定理，一個是導數的應用。這些大章就喜歡兩個東西搞成一個題目，這個有點意思。
??來看第一節：
??3.1 微分中值定理
??首先來看引導。
??1.極值點。
??……
??嘟嘟嘟
??去心鄰域。極小點、極小值。極大點，極大值。
??……
??2.函數在一個點的導數有哪些情況？
??＞0，＜0，＝0，不存在。
??四種情況。
??如果f"(a)＞0，又有極限保號性，在去心鄰域也＞0。通過左右鄰域分析可以發現
??lim(x→a){[f(x)-f(a)]/(x-a)}＞0.
??{f(x)＜f(a)，x∈（a-δ）}
??{f(x)＞f(a)，x∈（a+δ）}
??f"(a)＞0推出左小右大。（x=a不是極值點）
??同理
??f"(a)＜0推出左大右小。（x=a不是極值點）
??結論
??①f(x)在x=a取極值，推出，f"(a)=0或f"(a)不存在.反之不對。
??②f(x)在x=a取極值且可導，推出，f"(a)=0.反之不對。
??反例1y=x3，y"=3x2，y"(0)=0.
??但x=0不是y=x3的極值點。（左低右高）
??反例2y=f(x)={x，（x小於0）；2x，（x≥0）}
??f"?(0)=lim(x→0?){[f(x)-f(0)]/(x-0)}=1，
??f"?(0)=lim(x→0?){[f(x)-f(0)]/(x-0)}=2，
??∵f"?(0)≠f"?(0)，
??∴f"(0)不存在，但x=0不是極值點。
??開始正式動手
??引連續和可導的區別
??……
??尖尖交不可導，可導是光滑的。
??……
??一、Rolle中值定理羅爾定理
??Th1，若
??①f(x)∈C[a，b]，
??②f(x)在(a，b)內可導，
??③f(a)=f(b).
??則至少?一點ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0.
??羅爾定理
??條件閉區間連續開區間可導左右兩個端點函數值相等
??結論則開區間至少一個點的導數為0
??注意開閉區間一定不能含糊，零點定理開區間，介值定理閉區間，羅爾定理開區間
??幾何意義在區間裏麵至少有一點切線水平
??羅爾定理證明
??f(x)C[a，b]，推出，f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，
??①m=M，
??則f(x)≡C?.
???ξ∈(a，b)，有f"(ξ)=0；
??②m＜M，
??∵f(a)=f(b)，
??∴if f(a)=m，則f(b)=m，
??推出M在(a，b)內取到；
??if f(a)=M，則f(b)=M，
??推出m在(a，b)內取到；
??∴m，M至少一個在在(a，b)內取到；
??這裏條件是m與M是不同的值，而左右端點是同一個值，所以m，M至少有一個在中間取到
??不妨設?ξ∈(a，b)，使f(ξ)=m，
??推出f"(ξ)=0或f"(ξ)不存在，
??∵f(x)在(a，b)內可導，
??∴f"(ξ)=0
??應用
??例1f(x)∈C[0，2]，(0，2)內可導，f(0)=-1，f(1)=2，f(2)=-2.求證?ξ∈(0，2)，使f"(ξ)=0.
??證明：∵f(0)f(1)＜0，零點定理
??∴?C?∈(0，1)，使f(C?)=0；
??又∵f(1)f(2)＜0，
??∴?C?∈(1，2)，使f(C?)=0；
??∵f(x)∈C[C?，C?]，f(x)在(C?，C?)內可導，
??又∵f(C?)=f(C?)=0，
??∴?ξ∈(C?，C?)?(0，2)，使f"(ξ)=0.
??例2f(x)∈C[0，2]，(0，2)內可導，f(0)=1，f(1)+2f(2)=3.求證?ξ∈(0，2)，使f"(ξ)=0.
??證明：
??1o，∵f(x)∈C[1，2]，
??∴f(x)在[1，2]上取到m和M.
??3m≤f(1)+2f(2)≤3M，f(1)+2f(2)=3，
??∴m≤1≤M
??∴?C∈[1，2]，使f(C)=1
??2o，∵f(0)=f(C)=1
??∴?ξ∈(0，C)?(0，2)，使f"(ξ)=0.
??……
??吃了些零食喝了些水，站起來走了走。
??……
??羅爾定理的致命弱點就是第三個條件太苛刻了，所以我們看一個更加廣泛的拉格朗日
??二、Lagrange中值定理拉格朗日中值定理
??Th2.若①f(x)∈C[a，b]，
??②f(x)在(a，b)內可導，
??則至少?一點ξ∈(a，b)，使
??f"(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a).
??證明
??分析L：y=f(x)
??Lab：y-f(a)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)
??即：Lab：y=f(a)+{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)
??證明
??令φ(x)=曲-直=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)
??φ(x)∈C[a，b]，φ(x)在(a，b)內可導.
??且φ(a)=φ(b)=0，
??根據羅爾定理，
???ξ∈(a，b)，使φ"(ξ)=0.
??而φ"(x)=f"(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}
??∴f"(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
??真漂亮
??注解
??①if f(a)=f(b)，則L→R.
??②等價形式f"(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)等價於
??f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)等價於
??f(b)-f(a)=f"[a+(b-a)θ](b-a)，（0＜θ＜1）
??例1f(x)∈C[a，b]，(a，b)內可導，f(a)=0，f(b)=0，a＜c＜b且|f"(x)|≤M.求證
??|f(c)|≤M(b-a)/2.
??證明：
??1o，
??f(c)-f(a)=f"(ξ?)(c-a)，(a＜ξ?＜c).
??f(b)-f(c)=f"(ξ?)(b-c)，(c＜ξ?＜b).
??2o，
??∵f(a)=0，f(b)=0.
??∴f(c)=f"(ξ?)(c-a)，-f(c)=f"(ξ?)(b-c)
??∴
??|f(c)|=|f"(ξ?)|(c-a)≤M(c-a)，
??|f(c)|=|f"(ξ?)|(b-c)≤M(b-c)，
??推出
??2|f(c)|≤M(b-a)
??推出
??|f(c)|≤M(b-a)/2.
??漂亮
??……
??學習的課間休息時間我會喝口水上個廁所聽聽歌。一般放的歌就是《sold out》。稍有激勵感。
??……
??方法對於有三個點的證明，可以用兩次拉格朗日
??例2a＜b，證arctanb-arctana≤b-a.
??方法對於形式是f(b)-f(a)，也可以用拉格朗日
??證明：令f(x)=arctanx. f"(x)=1/(1+x2)
??arctanb-arctana
??=f(b)-f(a)
??=f"(ξ)(b-a)，（a＜ξ＜b）
??=[1/(1+ξ2)](b-a)
??∵1/(1+ξ2)≤1
??∴arctanb-arctana=[1/(1+ξ2)](b-a)≤b-a
??推論若f(x)∈C[a，b]，f(x)在(a，b)內可導，且f"(x)≡0，
??則f(x)≡C?.
??證明略，懶得寫。
??三、柯西中值定理Cauchy
??Th3.若①f(x)、g(x)∈C[a，b]，
??②f(x)、g(x)在(a，b)內可導，
??③g"(x)≠0，(a＜x＜b).
??則?ξ∈(a，b)，
??使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f"(ξ)/g"(ξ).
??注解
??①g"(x)≠0，(a＜x＜b)推出g"(ξ)≠0，[g(b)-g(a)]≠0.用羅爾定理反證
??②若g(x)=x，則Cauchy→Lagrange
??③L拉格朗日輔助函數：φ(x)=曲-直=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a).
??C柯西輔助函數：φ(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).
??證明
??令φ(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).
??φ(x)∈C[a，b]，φ(x)在(a，b)內可導，
??φ(a)=0，φ(b)=0，
??∵φ(a)=φ(b)=0，
??∴根據羅爾定理
???ξ∈(a，b)，使φ"(ξ)=0.
??而φ(x)=f"(x)-{[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)}g"(x)
??f"(ξ)-{[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)}g"(ξ)=0
??∵g"(ξ)≠0，
??∴[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f"(ξ)/g"(ξ).
??例1f(x)∈C[a，b]，(a，b)內可導，（a＞0），證：?ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=ξf"(ξ)·ln(b/a).
??分析要證f(b)-f(a)=ξf"(ξ)·ln(b/a)，
??即證[f(b)-f(a)]/(lnb-lna)=ξf"(ξ).
??lnab=lna+lnb，lna/b=lna-lnb
??證明：令g(x)=lnx，g"(x)=1/x≠0，(a＜x＜b)，
??由Cauchy，?ξ∈(a，b)，使
??[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f"(ξ)/g"(ξ)
??推出
??[f(b)-f(a)]/[lnb-lna]=f"(ξ)/(1/ξ)=ξf"(ξ)
??即f(b)-f(a)=ξf"(ξ)·ln(b/a).
??好的休息一下，一會兒再來看看三個中值定理學完了之後的例題。
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