第223章 你馬負乘給我馬焦發消息就是為了打斷我學習搞我心態還說我消息有延遲
rrd前陣子的老梗。有一種問你是GG還是MM的尷尬感，汗！神馬都是浮雲。
??主要是一直在草稿箱裏礙眼，趁考研進行時卷無聊的很索性發出去。
??介紹女朋友：
??素質教育的漏網之魚、晚睡協會常任理事、情侶辯論賽冠軍、國家級抬杠運動員、美圖秀秀特約攝影師、東北酸甜口烤冷麵宣傳大使、中國馳名窩裏橫。
??朋友圈超模、火鍋品鑒師、雙十一投資人、口紅收藏家、sp簽約舞者、年度熬夜冠軍、王者榮耀口頭王者、奶茶千杯不醉、家務啥都不會、吵架她先流淚、吵完叫我下跪。
??……
??我是一條舔狗，但是如果你不尊重我，那我也可以舔別人。
??……
??湖北巨變，江蘇解體？
??……
??蹦迪黑話：萌桃、暗板、明板、白紙、天菜。
??我可能一生都不會去蹦迪，但是並不遺憾
??……
??抖音直播睡覺真就很厲害。
??……
??名聲在外，有好有壞，以前是以前，現在是現在，我就站在你麵前，你看我有幾分，像從前。
??……
??網絡文化的瑰寶——沙雕圖。
??……
??敖丙的姐姐熬夜、費翔的親侄女兒廢物、不知火舞的表妹不知好歹、娜可露露的妹妹那可不行、倚天屠龍記來自波斯的大剩女、西楚霸王之妻虞姬的妹妹餘孽。
??……
??如果我16歲，我可以說我要你，如果我26歲，我可以大聲告訴你我很愛你。可惜我6歲，馬上要換門牙了，我什麽都給不了你，我還要上小學。
??……
??給你快餐式的愛情、流水線的感情、批發式的想你、群發式的愛你、渣女不要錢、戀愛選我我超甜，記得早晨發一句，在嗎？小甜甜。
??……
??郭老師，集美們（姐妹們）。
??……
??王境澤，真香。
??喬碧蘿。露臉。
??蔡**，菜虛鯤，雞你太美。
??……
??有些姐姐很高級，美顏濾鏡加磨皮，朋友圈她在巴黎，轉身家裏吃涼皮，過節準備520，跟你回家那不行，你不上鉤她不慌，她有魚兒一籮筐，無情啊，姐姐。
??……
??例4x-y+(?)siny=0確定y=f(x)，求d2y/dx2.
??分析d2y/dx2就是y""
??不著急，我先吃個玉米棒棒。
??……
??解：x-y+(?)siny=0兩邊對x求導
??1-dy/dx+1/2sy·dy/dx=0
??dy/dx=2/(2sy)
??法一：在原式基礎上繼續求導
??-d2y/dx2+1/2[-siny·(dy/dx)2sy·d2y/dx2]=0
??(1/sy-1)d2y/dx2=1/2siny×4/(2sy)2
??sy-2)d2y/dx2=siny×4/(2sy)2
??d2y/dx2=-4siny/(2sy)3
??法二：
??dy/dx=2/(2sy)
??兩邊對x求導，除法。
??d2y/dx2={2"(2sy)-[2×d/dx(2sy)]}/(2sy)2
??=-[2×d/dx(2sy)]/(2sy)2
??=[-2×siny×dy/dx]/(2sy)2
??=-4siny/(2sy)3
??……
??雨下大了
??……
??例5y=(1+x2)^sinx.求y"
??解：
??好困啊，去睡個覺再來看。15：27。
??畢竟下雨最適合睡覺了。
??……
??可惡，下午覺、黃昏覺都是又困又睡不著，怎麽會有這種機製啊我服了。15：59。
??……
??記錄句子仿佛隻有把挖掘機用在挖土之外的事情上，才更能讓人體會到努力做著無用的事的成就感。
??努力做著無用的事的成就感。
??……
??心理學：人類的破壞欲本性。
??……
??例5y=(1+x2)^sinx.求y"
??解：
??分析噫？這個函數是個顯函數。沒錯，它就是顯函數。但是你又發現這個函數你找不到公式來求導，你看它底數有x，指數也有x，既不是冪函數也不是指數函數。
??不倫不類的函數，隻能叫初等函數
??法一：
??y=e^[sinx·ln(1+x2)]
??dy/dx
??=e^[sinx·ln(1+x2)]sxln(1+x2)+sinx·(ln(1+x2))"]
??=[(1+x2)^sinx]sxln(1+x2)+sinx×[1/(1+x2)]×2x]
??=整理略
??法二：
??顯函數隱式化
??lny=sinx·ln(1+x2)
??兩邊對x求導
??[1/y]dy/dxsxln(1+x2)+sinx×[1/(1+x2)]×2x
??dy/dx=(1+x2)^sinx·sxln(1+x2)+sinx×[2x/(1+x2)]}
??二、參數方程確定的函數求導
??由{x=φ(t)，y=ψ(t)}確定y=y(x)，稱由參數方程確定的函數.
??一般情況下消不掉這個t的。
??顯函數是函數，隱函數是函數，參數方程確定的也是函數
??定理
??Th.{x=φ(t)，y=ψ(t)}，其中φ(t)，ψ(t)可導，且φ"(t)≠0，
??則dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=ψ"(t)/φ"(t).
??證明
??證明：φ"(t)=lim(Δt→0)Δx/Δt≠0推出
??Δx=O(Δt)，同階無窮小
??dy/dx
??=lim(Δx→0)Δy/Δx
??=lim(Δx→0)(Δy/Δt)/(Δx/Δt)
??=lim(Δt→0)(Δy/Δt)/(Δx/Δt)
??=lim(Δt→0)(Δy/Δt)/lim(Δt→0)(Δx/Δt)
??=(dy/dt)/(dx/dt)
??=ψ"(t)/φ"(t)
??例1
??{x=arctant，y=ln(1+t2)}，求dy/dx，d2y/dx2？
??解：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
??=[2t/(1+t2)]/[1/(1+t2)]
??=2t
??問d2y/dx2=2？
??答?叉錯
??求導數是有對象的，是誰對誰求導
??從dy/dx到d2y/dx2，就是從一階導到二階導，它是對誰求導？它是對x求導！你算的2是對t，天真！沒按要求。
??所以應該怎樣做？
??d2y/dx2=d(dy/dx)/dx
??dy/dx=2t
??那這裏就是：
??d2y/dx2
??=d(dy/dx)/dx
??=d(2t)/dx一個是dt一個是dx，叭好
??=[(d/dt)(2t)]/[dx/dt]同時比一個dt這個問題解決了
??=2/[1/(1+t2)]
??=2(1+t2).
??例2
??{x=a(t-sint)，y=a(1st)}確定y=y(x)，
??求d2y/dx2？
??解：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
??=asint/a(1st)
??=sint/(1st)
??d2y/dx2=d(dy/dx)/dx
??=d[sint/(1st)]/dx
??={d[sint/(1st)]/dt}/{dx/dt}
??=[1/a(1st)]{st·(1st)-sin2t]/(1st)2}
??=整理略
??不略不略來看一下整理
??=st·(1st)-sin2t]/a(1st)3
??=st-1)/a(1st)3
??=-1/a(1st)2
??嗯，看起來好看多了。
??好了2.4節就到這裏了。這一節是隱函數及有參數方程確定的函數求導，主要是兩個東西的求導，一個是隱函數，一個是參數方程。
??隱函數的求導把y看成φ(x)就行了，注意鏈式法則，以及有的顯函數也可以隱式化求導，方法整體就是兩邊對x求導。
??參數方程的話，主要是定理，y對dt求導除以x對dt求導，高階導數二階及以上的求導按照規則來，對x求導，我們記得各自加dt就行了。
??不說了，我媽回來了，我吃晚飯了。
??下一節是第二章導數與微分最後一節2.5微分。吃完飯再看。
??……
??晚餐慣例剩菜。我媽抱怨了一句天氣好煩人哦。
??……
??聽老師講課，和自己看教材的確是不一樣。老師的一句話可能就能啟發我，而我自己想得很久。而且視頻聲音給的信息自然更豐富，屬於富信息輸入，隻需要簡單篩選吸收就行，而教材則是精華信息輸入，需要信息擴充才能理解。
??看下2.5直接結束第二章吧高數拖了十幾天了還沒結束前兩章太拖遝了，主要是前幾天我一直在玩遊戲。真的垃圾。最近才漸漸體會到星之守護者一定要做好人的快感。但是我玩金克絲時隊友是真的傻逼。舉報九個人。
??好的來看2.5微分。
??一、例子
??1.y=x2，x0=2，x0=2→x=2+Δx，求Δy
??解：Δy=y(2+Δx)-y(2)
??=(2+Δx)2-22
??=4Δx+(Δx)2
??∵(Δx)2=o(Δx)高階無窮小，次要
??∴Δy=4Δx+o(Δx)
??前麵部分是主要的，後麵是次要的
??2.V=4πr3/3，r0=2，r=2+Δr，ΔV？
??解：ΔV=V(2+Δr)-V(2)
??=4π/3(2+Δr)3-(4π/3)r3
??=4π/3[12Δr+6(Δr)2+(Δr)3]
??=16πΔr+8π(Δr)2+(4π/3)(Δr)3
??∵8π(Δr)2+(4π/3)(Δr)3=o(Δr)
??∴ΔV=16πΔr+o(Δr)
??define微分
??y=f(x)，x∈D，x0∈D，x0+Δx∈D，
??Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
??if=AΔx+o(Δx)
??則y=f(x)在x=x0處可微，稱AΔx為y=f(x)在x=x0處的微分，記dy|右下角x=x0.
??即dy|右下角x=x0=AΔx習慣寫成Adx.
??……
??可以公布的情報
??目前我們在一個點有哪些概念？
??開始是，極限！極限是什麽？左右極限存在且相等那就有極限。
??緊接著產生一個概念，叫連續！什麽是連續？極限值如果等於函數值，那就連續！所以一個點連續有三個等，哪三個？左極限、右極限、函數值。
??後來又有可導，什麽叫函數在一個點可導？就是Δy/Δx，當Δx→0時有極限就叫可導，沒有極限叫不可導。
??現在又有可微概念。那什麽是可微？就是如果一個函數它的增量Δy可以表示成一個常數乘以Δx的一次方，再加上Δx的高階無窮小，可以表示成這樣，就稱為可微！其中前麵的主要部分AΔx通常寫為Adx就稱為函數在這個點的微分！
??……
??注解
??①可導等價於可微
??一個一元函數在一個點可導和可微強度是一樣的，可導就可微，可微就可導。
??證明：
??證：充分性：
??設lim(Δx→0)Δy/Δx=f"(x0).
??Δy/Δx是一個函數，它的自變量是Δx，它以f"(x0)為極限
??無窮小有一個知識點limf=A等價於f=A+α，α→0
??Δy/Δx=f"(x0)+α，其中α→0（Δx→0）.
??得：
??Δy=f"(x0)Δx+αΔx.
??∵lim(Δx→0)αΔx/Δx=0，
??∴αΔx=o(x)，
??∴Δy=f"(x0)Δx+o(Δx).
??即y=f(x)在x=x0可微。
??證：必要性：
??設Δy=AΔx+o(Δx)
??Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx，
??lim(Δx→0)Δy/Δx=A，即f"(x0)=A，
??∴即y=f(x)在x=x0可導，且A=f"(x0).
??②y=f(x)，x=x0，if Δy=AΔx+o(Δx)，
??則A=f"(x0).
??③y=f(x)，x=x0，if Δy=AΔx+o(Δx)，
??則dy|右下角x=x0=f"(x0)dx.
??若y=f(x)可導，
??則dy=df(x)=f"(x)dx.
??df(x)=f"(x)dx表示如果一個函數在d的後麵，想把它拿前麵就要求導
??比如d(x3)=3x2dx
??再如d(e^3x)=3e^(3x)dx
??x2dx=d(1/3x3+C)
??1/(1+x2)dx=d(arctanx+C)
??例1y=ln(1+x2)，求x=3時dy？
??解：y"=2x/(1+x2)
??y"(x=3)=3/5
??∴dy(x=3)=y"(3)dx=(3/5)dx
??例2y=sin2(3x+2)，求dy
??解：y"=6sin(3x+2)s(3x+2)
??=3sin(6x+4).
??二倍角公式sin2α=2sinsα
??∴dy=y"dx=3sin(6x+4)dx
??注解
??①若y=f(x)在x=x0可微，
??Δy=f"(x0)Δx+o(Δx)，
??dy(x=x0)=f"(x0)Δx，
??則Δy-dy=o(Δx).
??②若y=f(x)在x=x0可微，
??幾何意義
??二、微分工具
??㈠公式
??1.d(C)=0；
??2.d(x^a)=ax^(a-1)dx
??3.d(a^x)=(a^x)lnadx
??d(e^x)=e^xdx
??4.d(loga^x)=1/[xlna]dx
??d(lnx)=1/xdx
??5.①d(sinx)sxdx
??②dsx)=-sinxdx
??③d(tanx)=sec2xdx
??④dtx)=-csc2xdx
??⑤d(secx)=secx·tanxdx
??⑥d(cscx)=-cscxtxdx.
??6.①d(arcsinx)=1/[1-x2]^?dx（-1＜x＜1）
??②d(arsx)=-1/[1-x2]^?dx（-1＜x＜1）
??③d(arctanx)=1/[1+x2]dx（-∞＜x＜+∞）
??④d(artx)=-1/[1+x2]dx（-∞＜x＜+∞）
??㈡四則運算微分法則
??也與求導類似
??㈢複合
??y=f(u)可導
??case1：u為自變量
??dy=f"(u)du；
??case2：u=φ(x)，y=f[φ(x)]，
??dy/dx=f"[φ(x)]φ"(x)，
??dy=f"[φ(x)]φ"(x)dx
??=f"[φ(x)]d[φ(x)]
??=f"(u)du.一階微分形式不變性
??例1y=sin(3x+2)，求dy
??解：法一：y"=s(3x+2)
??dy=s(3x+2)dx
??法二：令(3x+2)=u，y=sinu
??dy=f"(u)dusudu
??s(3x+2)d(3x+2)
??=s(3x+2)dx
??例2y=e^x2，求dy
??解：法一：y"=2xe^x2，
??dy=2xe^x2dx
??法二：令x2=u，y=e^u，
??dy=f"(u)du=e^udu=e^x2d(x2)=2xe^x2.
??三、近似計算
??設y=f(x)在x=x0可微，
??Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f"(x0)Δx+o(Δx)
??推出Δy≈f"(x0)Δx
??推出f(x0+Δx)≈f(x0)+f"(x0)Δx.
??或f(x)-f(x0)≈f"(x0)(x-x0)
??推出f(x)≈f(x0)+f"(x0)(x-x0)
??例1求sin30°30′近似值
??解：f(x)=sinx，x0=π/6，Δx=30′=π/360.
??f"(x)sx.
??f(x0)=1/2，f"(x0)=(3^?)/2，
??∵f(x0+Δx)≈f(x0)+f"(x0)Δx
??∴sin30°30′=f(π/6+π/360)≈f(π/6)+f"(π/6)π/360
??=1/2+[(3^?)/2]×π/360
??例2略
??……
??x→0，f(x)=f(0+x)≈f(0)+f"(0)x
??①(1+x)^1/n≈1+x/n
??②e^x≈1+x
??③ln(1+x)≈x
??好第二章導數與微分，結束了。第三章是精華，很厲害，明天再開始。9個視頻，7節。和第一章一樣是個大章，希望兩天看完吧。現在去背單詞，今天單詞到現在還沒背。一直在看導數與微分的後半部分。那估計第三章得看三四天了，兩天估計看不完。
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