第218章 聽說馬焦對考研信心不足而且資料沒買之後馬飛給他發了一些文檔資料
2020年8月11日，淩晨。
??反省自己，言行有諸多不可取之處。對陌生人要慎言慎行。不可張揚，不可胡鬧，不可陰陽怪氣，不可惡意中傷，不可言語輕佻下流，不可分享情感及經曆，不可露麵及透露信息。終究是自己麵前才做自己？還是不要太在意他人看法？嗚呼何以度？討厭與被討厭都是避免不了的。說教無益，折斷的骨頭……
??略微的迷茫。
??矛盾點到底在哪裏呢？
??可是是我有些在意陌生人的看法了，以至於我開始因此而難受。我的行為可能變化不多，又或是言行變垃圾了些許。或許隻是我近期敏感了一丟丟。
??我當然知道世界不是圍我轉，那麽這種失落感到底從何而來呢？
??還是感覺其實不是陌生人。好吧，是這樣啊。複雜的情況。沒有高數美。
??又要回到一無所有才能快樂的日子了，因為擁有一種不會失去的踏實快樂的感覺。
??……
??上午。
??沒有夢，但是間歇性醒了幾次。若是訂個什麽事在早上，潛意識一定把我從睡眠中搞醒，也就沒有夢境大片了。
??……
??看見了世界的像素，我真的看見了嗎。沒什麽是絕對精準的吧？
??……
??中午。
??午餐是辣椒炒雞脯肉、茄子、空心菜、薄片饃饃。
??……
??退了新生群後輕鬆多了，更多的是一種精神上的輕鬆。
??……
??天空臉紅了，是因為夜晚在看她嗎？——莉莉婭
??……
??打遊戲。
??……
??2.1 導數的概念
??昨天說到
??1.y=f(x)=C，求f"(x)
??（C)"=0常數
??2.一般地(x^a)"=ax^(a-1)冪函數
??接著看：
??3.指數函數y=f(x)=a^x (a>0且a≠1)，求f"(x).
??解：f"(x)=lim(Δx→0)[f(x0+Δx)-f(x)]/Δx
??=lim(Δx→0)[a^(x+Δx)-a^x]/Δx
??Δx是變量，x這裏是常數意義，所以可以提取一個a^x
??=a^xlim(Δx→0)[a^Δx-1]/Δx
??=a^xlim(Δx→0)[e^Δxlna-1]/Δx
??=a^xlim(Δx→0)Δxlna/Δx
??=(a^x)lna
??∴(a^x)"=(a^x)lna
??特別地，(e^x)"=e^x
??4.對數函數
??y=f(x)=loga^x（a>0且a≠1，x>0）.求f"(x).
??解：f"(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
??=lim(Δx→0)[loga^(x+Δx)-loga^x]/Δx
??底數相同的指數函數相減，則底數不變指數相除↓
??=lim(Δx→0)[1/Δx]loga(1+Δx/x)
??=lim(Δx→0)loga(1+Δx/x)^[1/Δx]
??基本初等函數在定義域上連續所以可以把log以a為底拿到lim前麵↓
??=logalim(Δx→0)(1+Δx/x)^[1/Δx]
??=logalim(Δx→0)(1+Δx/x)^[x/Δx][1/x]
??e極限，這裏x>0Δx→0，所以Δx/x→0，倒數趨向於∞↓
??=loga^(e^1/x)
??=1/xloga^e
??再用換底公式↓
??=[1/x][lne]/[lna]
??=1/[xlna]
??∴（loga^x）"=1/[xlna].
??特別地，（lnx）"=1/x.
??……
??馬飛給我分享了一些資料。
??……
??2.1導數的概念結束，小結一下：
??（C)"=0
??(x^a)"=ax^(a-1)
??(a^x)"=(a^x)lna
??(loga^x)"=1/[xlna].
??現在還沒講三角函數和反三角函數。
??好，現在看第二章第二節：
??2.2 求導法則
??有兩個視頻，這先看（一）。
??初等函數：
??材料常數和基本初等函數
??動作四則運算和複合運算
??任務一：材料的求導，即常數和基本初等函數的求導。
??對於5.三角函數
??我們已經解決：
??①(sinx)"sx
??②sx)"=-sinx
??那麽，先解決一下四則運算的問題。
??一、四則法則
??Th1設函數u(x)、v(x)可導，則
??①[u(x)±v(x)]"=u"(x)±v"(x)
??②[u(x)v(x)]"=u"(x)v(x)+u(x)v"(x)
??③設v(x)≠0，則[u(x)/v(x)]"=[u"(x)v(x)-u(x)v"(x)]/v2(x)
??證明：
??①易證，不打字了。
??②證明：
??令φ(x)=u(x)v(x)，
??Δφ=φ(x+Δx)-φ(x)=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x)
??=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x+Δx)-u(x)v(x)
??=Δu·v(x+Δx)+u(x)·Δv
??則：
??Δφ/Δx=[Δu/Δx]·v(x+Δx)+u(x)·[Δv/Δx]
??在以下求極限式子中Δx是變量，x不變
??lim(Δx→0)Δφ/Δx
??=lim(Δx→0)[Δu/Δx]·lim(Δx→0)v(x+Δx)+u(x)·lim(Δx→0)[Δv/Δx]
??上式中u(x)是常數，因為沒有Δx
??∵v(x)可導
??∴v(x)連續
??∴lim(Δx→0)v(x+Δx)=v(x)
??∴φ"(x)=lim(Δx→0)Δφ/Δx
??=u"(x)v(x)+u(x)v"(x)
??即[u(x)v(x)]"=u"(x)v(x)+u(x)v"(x)
??③證明：
??令φ(x)=u(x)/v(x)，（v(x)≠0）
??Δφ=φ(x+Δx)-φ(x)=u(x+Δx)/v(x+Δx)-u(x)/v(x)
??通分，分母v(x)先寫隻是一種習慣
??=[u(x+Δx)v(x)-u(x)v(x+Δx)]/[v(x)v(x+Δx)]
??處理分子，湊Δ
??={u(x+Δx)v(x)-u(x)v(x)-[u(x)v(x+Δx)-u(x)v(x)]}/[v(x)v(x+Δx)]
??=[Δu·v(x)-u(x)·Δv]/[v(x)v(x+Δx)]
??看Δφ/Δx={1/[v(x)v(x+Δx)]}·[(Δu/Δx)·v(x)-u(x)·Δv/Δx]
??lim(Δx→0)Δφ/Δx
??=[1/v(x)]·lim(Δx→0)……
??……
??被網絡運營商信息打斷，就起身喝了盒酸奶，舔酸奶蓋蓋，吃了幾片薄餅，因為不想刮皮，就沒吃梨子。
??然後保存馬飛給的資料。
??繼續。
??……
??lim(Δx→0)Δφ/Δx
??=[1/v(x)]·{1/[lim(Δx→0)v(x+Δx)]}·{[v(x)·lim(Δx→0)Δu/Δx]-[u(x)·lim(Δx→0)Δv/Δx]}
??即φ"(x)=[1/v2(x)]·[u"(x)v(x)-u(x)v"(x)]
??∴[u(x)/v(x)]"=[u"(x)v(x)-u(x)v"(x)]/v2(x)
??推論
??①(ku)"=ku"
??②(uv;
??例1
??y=x3e^x，求y"
??解：y"=(x3)"e^x+x3(e^x)"
??=3x2e^x+x3e^x
??=略
??例2前麵正弦餘弦倒數已求
??①y=tanx，求y"（三角函數正切）
??②ytx，求y"（三角函數餘切）
??③y=secx，求y"（三角函數正割）
??④y=cscx，求y"（三角函數餘割）
??解：①(tanx)"
??=(sinxsx)"
??=[(sinx)"sx-sinxsx)"]s2x
??=s2x+sin2x)s2x
??=1s2x
??正弦sin對餘割csc，正割sec對餘s
??即secx=1sx
??=sec2x
??結論：
??(tanx)"=sec2x
??②tx)"
??=sx/sinx)"
??=[sx)"sinxsx(sinx)"]/sin2x
??=[-sin2xs2x]/sin2x
??=-1/sin2x
??=-csc2x
??結論：
??tx)"=-csc2x
??③(secx)"
??=(1sx)"
??=[1"sx-1·sx)"]s2x
??=sinxs2x
??=secx·tanx
??結論：
??(cscx)"=secx·tanx
??④(cscx)"
??=(1/sinx)
??=[0sx]/sin2x
??=-cscxtx
??結論：
??(cscx)"=-cscxtx
??……
??晚餐，剩菜。
??……
??小結
??(sinx)"sx
??sx)"=-sinx
??(tanx)"=sec2x
??tx)"=-csc2x
??(secx)"=secx·tanx
??(cscx)"=-cscxtx.
??可以發現還是有規律的。
??……
??例3
??y=f(x)=x(x+1)…(x+99)，求f"(0).
??解：法一：
??f"(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)
??=lim(x→0)(x+1)…(x+99)
??發現是多項式嘛，初等函數在定義域內都是連續的嘛，極限值等於函數值
??=99!
??法二：
??f"(x)=(x+1)(x+2)…(x+99)+x(x+2)…(x+99)+…+x(x+1)…(x+98)
??∴f"(0)=99!
??……
??2.2求導法則（二）
??引言
??基本初等函數裏，冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的求導已經解決，那麽基本初等函數——反三角函數怎麽求導呢？
??反三角函數是三角函數的反函數，那麽我們是不是可以通過反函數求導來解決反三角函數的求導問題呢？
??嚴格單調的函數才有反函數
??二、反函數求導法則
??y=f(x)嚴格單調
??y=f(x)→ x=φ(y)不用對調
??左右x、y一樣。左右式子xy角色身份互換而已，其他一樣。
??Th2：設y=f(x)可導且f"(x)≠0，x=φ(y)為反函數，則x=φ(y)可導，且φ"(y)=1/f"(x).
??理解一階導數不為0，那麽要麽一階導數大於0要麽小於0，這兩種情況都證明f(x)嚴格單調，所以有反函數。
??疑問一階導數不能一會兒大於0一會兒小於0嗎？
??回答試想一下，如果一階導數既有大於0又有小於0的部分，那它必然經過0，與一階導數不為零相矛盾。所以不會既有大於0部分也有小於0部分。
??疑問函數可導，一階導數一定連續嗎？
??我搜了一下發現也有很多人搜了這個問題。
??大概是這樣：函數連續可導則函數處處存在導數且一階導函數連續。
??也有人說到局部保號性。
??這裏老師說的沒加連續兩字，老師的不注意細節，毀了我好多溫柔。於是我看了我教材上的定理2：
??定理2：如果函數 x= f(y)在區間Iy內單調、可導且f"(y)≠0，那麽它的反函數y=f?1(x)在對應區間Ix={x|x= f(y)，y∈Iy}內也可導，且
??[f?1(x)]"=1/f"(y)或這裏ddd的就不寫了看起來像廢話但其實不是廢話
??所以這麽來看定理二就沒有這個一階導數不等於0然後的問題了，就直接說了原函數單調可導、導數不等於0。
??這次覺得教材還挺棒的。當然一直教材都是還可以的。我就覺得我高數老師也講的不錯，隻不過這是我粗略學過高數之後來聽0基礎課所以覺得湯老師講的不錯。當然也確實不錯。我高數老師上課證明時我還打過盹，害，我要是像阿福一樣高數能考100分就好了。
??高中：數學90？什麽垃圾！
??大學：數學60？耶！
??當然略有誇張。
??……
??我去洗個頭，回來接著看定理的證明，粗看了一下書上定理二的證明還挺簡單的。
??還有就是書上說上述結論可簡單陳述為：（我加了高光）反函數的導數等於直接函數導數的倒數
??念起來也挺帶勁的。
??……
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