第531章 K3曲麵
什麽是湍流？試著想象兩幅畫麵，一幅是一條平靜的河流，另一幅是奔流激起了白色浪花的河流——前者向一個方向流動，後者同時向多個不同方向流動。在數學和物理學中，後麵這幅畫麵中所存在的不規則運動就被稱為湍流。
湍流的運動能以多種不同的方式同時展開，因此在數學上對它們進行研究是極為困難的。也正因如此，描述流體流動的NS方程（納維葉-斯托克斯方程）才會如此難以求解，它甚至被列為七個“千禧年大獎難題”之一，足以彰顯它在數學上的困難程度。
1959年，一位名叫喬治·巴切勒（Gee Batchelor）的數學家兼物理學家提出，某些湍流係統雖然看起來非常混亂，但它們實際上遵循著一種簡單、精確的普遍規律。這便是與湍流有關的一個關鍵預測——巴切勒定律，它描述的是液體在混合時所形成的漩渦的大小和分布，是對當一種流體與另一種流體混合時，相同溫度下的大尺度現象與小尺度現象之間的比率的預測。
巴切勒定律有助於解釋化學濃度和溫度如何在液體中分布，我們能在冷熱混合的海水中的那些大小不同的旋渦裏看到它的作用。
這樣的現象在自然界中廣泛存在，物理學家稱之為“定律”，因為他們在實驗室中已經對這種現象觀察多年。
例如，將牛奶倒入咖啡攪拌時，可以產生一個大的漩渦，如果你放大看，會發現大旋渦上出現了小漩渦，小漩渦上會出現更小的旋渦……隨著牛奶與咖啡的混合，漩渦也越來越小，每一層的細節均在發生變化，形成有點類似分形的複雜結構。
但這些結構並不完全與分形相同，因為這些小漩渦並不是大漩渦的完整“複製品”，每個小旋渦都可以有自己的旋轉方向。
雖然從物理學的角度來看，這已經足以被稱為定律，但數學家卻無法對此滿足，因為到目前為止還沒有數學上的證據證明它是絕對成立的。直到最近，數學家Jacob Bedrossian、Samuel Punshon-Smith和Alex Blumenthal才首次證實了巴切勒定律的正確性，為描述液體中的運動模式提供了一種新的方法。
讓我們以向一桶白色的油漆中倒入黑色油漆的過程為例：試想你每秒鍾向一桶白色油漆內加入一滴黑色油漆，邊加邊攪拌。
當第一滴黑色油漆落在白色油漆上時，它就像一個孤島一樣，但過不了多久，隨著攪拌的進行，它開始與白色油漆混合，拉長成越來越細的黑色紋路。隨後被加進來的黑色油漆也將處於這種過程的不同階段：被拉伸、拉長，最後融入到整體漸漸變灰的油漆中。
現在，假如你已經將這個一邊攪拌一遍添加黑色油漆的過程進行了一段時間，然後此刻你將畫麵定格——這時你會看到畫麵中既有粗粗的黑色卷須，也有細細的黑色卷須，還有比細的卷須更細的紋路……粗的卷須是由剛被加進來攪拌不久的黑色油漆形成的，越細的卷須則表明是已經被攪拌了更長時間的黑色油漆。
巴切勒定律預測，在這個場景中，粗卷須、細卷須和最細卷須的數量符合一個精確的比例——就像是俄羅斯套娃裏，娃娃的大小是遵循一個精確的比例一樣。換句話說，巴切勒定律能告訴我們這些黑色卷須的大小分布，它所預測的確切比例很難描述，但總的來說更細的卷須的數量以一種確切的比例多於更粗的卷須的數量。巴切勒定律預測，即使我們對流體的某一處進行放大，也會發現這個比例能維持不變。
這是一個強有力的預測，但它難以用數學模型來模擬。直到這次，偏微分方程方麵的專家Bedrossian，主攻概率學的Punshon-Smith，以及研究動力學係統和遍曆理論的Blumenthal通過結合這四個領域的知識，證明了這一定律。
他們采用了一種考慮湍流係統中，流體的平均行為的方法。這是一種曾被數學家們多次嚐試卻沒能成功的策略。這種方法會忽略很多細節，它可以很好地利用隨機性能夠幫助我們對係統的整體行為做出準確預測這一點。
這對應於流體和混合的油漆來說意味著什麽呢？我們知道，由於對流體行為進行精確的確定性描述超出了數學所能實現的範疇，因此，可以選擇將施加在油漆上的力視為是隨機的——有時這樣攪拌它，有時那樣攪拌它，沒有固定的模式。這就是所謂的隨機方法。如此一來，數學家就可以從更高層麵的統計視角來審視係統中發生了什麽，而無需糾結於每個細枝末節。
利用這種方法，三位數學家最終證明了巴切勒定律。這是迄今為止數學中對湍流最為嚴謹的描述之一，它隻在少數幾種情況不符合真正解決千禧年大獎難題。
雖然在我們的生活中，巴切勒定律隨處可見。但在這次證明出現之前，巴切勒定律隻能算作是一個猜想，雖然這個猜想得到了許多實驗數據的支持，但是數學證明讓我們真正地了解了流體中到底發生了什麽。
Bedrossian介紹說，一開始他們並不確定這是否是一項可以完成的工作，因為湍流定律實在太過於複雜，以至於大家都認為它們無法用數學方法來解釋。但這次，他們通過整合多個領域的專業知識解決了這個問題。Bedrossian希望這次的證明對湍流研究來說僅僅是一個“熱身”，它代表的是我們是可以用數學來證明湍流的普遍性定律的。
新的證明除了帶來了數學上的突破，還有望幫助科學家和工程師在許多領域重新建立更精確的湍流模型，從空氣動力學到氣旋的形成，從而最終幫助我們設計出更好的交通工具、風力渦輪機等技術，以及幫助科學家建立更好的天氣和氣候預測模型。