第497章 哥德爾定理

  1637年，費馬在書本空白處提出費馬猜想。


  1770年，歐拉證明n=3時定理成立


  1823年，勒讓德證明n=5時定理成立。


  1832年，狄利克雷試圖證明n=7失敗，但證明 n=14時定理成立。


  1839年，拉梅證明n=7時定理成立。


  1850年，庫默爾證明2

  1955年，範迪維爾以電腦計算證明了 2

  1976年，瓦格斯塔夫以電腦計算證明 2

  1985年，羅瑟以電腦計算證明2

  1987年，格朗維爾以電腦計算證明了 2

  1995年，懷爾斯證明 n>2時定理成立。


  雖然是個丟番圖方程，但是懷爾斯卻沒有用代數學的知識去破解。


  而是用了一個很神秘的工具，就是穀山豐誌村五郎定理中的一個情況去證明的。穀山豐誌村五郎定理是指所有的模形式與橢圓曲線是一一對應的，這個理論極為神秘，但卻基本，一直到後來的BSD定理也是於此有關的，還沒有完全解決。


  法爾廷斯證明了莫德爾猜想，說隻要代數曲線在複空間上的形狀上有大於1的虧格洞，那上麵包含的有理點也隻能有有限個。


  費馬大定理這樣的方程在複空間上，就是一個虧格大於一的方程。


  1984年，德國數學家弗雷在德國小城奧伯沃爾法赫的一次數論研討會上宣稱：假如費馬大定理不成立，則由費馬方程可構造一個橢圓曲線，它不可被模形式化。也就是說穀山—誌村猜想將不成立。但弗雷構造的所謂“弗雷曲線”不可模形式化也說不清具體證明細節，因此也隻是猜想，被稱為“弗雷命題”，弗雷命題如得證，費馬大定理就與穀山—誌村猜想等價。


  1986年美國加州大學伯克利分校的肯·裏貝特教授完成了弗雷命題的證明。


  1986年，英國數學家安德魯·懷爾斯聽到裏貝特證明弗雷命題後，感到攻克費馬大定理到了最後攻關階段，並且這剛好是他的研究領域，他開始放棄所有其它活動，精心梳理有關領域的基本理論，為此準備了一年半時間把橢圓曲線與模形式通過伽羅瓦表示方法“排隊”。


  接下來的要將兩種“排隊”序列對應配對，這一步他兩年無進展。


  此時他讀博時學的岩澤理論一度取得實效，到1991年他之前的導師科茨告訴他有位叫弗萊切的學生用蘇聯數學家科利瓦金的方法研究橢圓曲線，這一方法使其工作有重大進展。


  1993年6月在劍橋牛頓學院要舉行一個名為“L函數和算術”的學術會議，組織者之一正是懷爾斯的博士導師科茨，於是在1993年6月21日到23日懷爾斯被特許在該學術會上以“模形式、橢圓曲線與伽羅瓦表示”為題，分三次作了演講。


  聽完演講人們意識到穀山—誌村猜想已經證明。


  由此把法爾廷斯證明的莫德爾猜想、肯·裏貝特證明的弗雷命題和懷爾斯證明的穀山—誌村猜想聯合起來就可說明費馬大定理成立。


  但此刻數學界反倒十分冷靜，明確指出論證還需仔細審核，因為曆史上曾多少次宣布證明但後來被查證錯誤。


  懷爾斯的證明被分為6個部分分別由6人審查，其中由凱茲負責的第三部分查出關於歐拉係的構造有嚴重缺陷，使科利瓦金—弗萊切方法不能對它適用，懷爾斯對此無能為力，1993年12月懷爾斯公開承認證明有問題，但表示很快會補正。


  一時間懷爾斯的證明被認為是曆史上拉梅、柯西、勒貝格、裏貝特（裏貝特也曾稱證明了穀山—誌村猜想）錯誤證明的又一例子。


  1994年1月懷爾斯邀請劍橋大學講師理查德·泰勒到普林斯頓幫他完善科利瓦金—弗萊切方法解決問題，但整整8個月過去，問題沒有解決。


  泰勒準備再過一個月後回劍橋，然後懷爾斯正式公布手稿，承認證明失敗，1994年9月19日懷爾斯想自己證明失敗原因該怎麽寫，回顧自己是先用岩澤理論未能突破而後用科利瓦金—弗萊切方法，又對該法一類特殊歐拉係出了問題，這樣一想，突然又想到何不再用岩澤理論結合科利瓦金—弗萊切方法試試？問題解法就是這樣，懷爾斯絕處逢生，修補了漏洞。


  1994年10月25日11點4分11秒，懷爾斯通過他以前的學生、美國俄亥俄州立大學教授卡爾·魯賓向世界數學界發送了費馬大定理的完整證明郵件，包括一篇長文“模形橢圓曲線和費馬大定理”，作者安德魯·懷爾斯。另一篇短文“某些赫克代數的環理論性質”作者理查德·泰勒和安德魯·懷爾斯。至此費馬大定理得證。