第493章 摩爾定理
在介紹這個公式之前，我們先要一個傳奇人物，比爾·巴特。為了低調的靠賭博賺錢，比爾·巴特放棄了香港賽馬的 1 億元頭獎，此後依靠自己搭建的預測係統在博彩界收割「莊家」，全球業務累計賺取 10 億美金，可謂是真正的「悶聲發大財」。
在比爾·巴特的預測係統中，如果隻有MLR模型（即Multiple Linear Regression Model，比爾潛心研究概率論後，在一篇有關 MLR的論文的基礎上、結合自身的編程技能實現了其預測係統；論文的核心就是講述了賽馬中的各個變量，包括場地、騎手素質、馬匹素質、曆史勝負、天氣狀況等等，然後用統計模型擬合數據，來預測比賽結果）是顯然不夠的，必須有一個安全機製來理性地阻止“貪婪的欲望”。
在 2004 年國際華人數學家大會上（ICCM）比爾非常慷慨地跟大家分享了他賭馬的模型，其中提到了一個至關重要一點就是凱利公式。可以說，如果沒有此公式，比爾就無法獲得如此高的收益率。
凱利，是誰？
約翰·拉裏·凱利（John larry Kelly 1923-1965）1923 年出生於美國德克薩斯州，在第二次世界大戰中加入美國海軍當了一名飛行員。
退役後，進入得克薩斯州奧斯汀分校念物理學。1953年獲得物理學博士學位，畢業後去了號稱諾獎批發部的貝爾實驗室工作。
在貝爾實驗室中，他認識了好友兼同事，著名信息論創始人的克勞德·香農。1956年凱利受到香農信息論的啟發，在內部期刊《貝爾技術係統期刊》中發表了一篇名為《對信息傳輸速率的新解釋》的論文。
然而這並不是論文原來的標題，原標題更有意思，叫《信息論與賭博》。因為公司高層覺得這樣的標題有損公司道德形象，才被迫他換了一個新名字。
但凱利的初衷確實是以一個棒球比賽的賭徒視角，去思考如何合理押注才能讓資產得到最大指數的增長。雖然標題不嚴肅，但論文的證明過程卻相當嚴謹。
後來，香農指導另一個數學大神應用凱利的研究，吊打拉斯維加斯的各個賭場。
這個數學大神就是愛德華·索普。
真正的賭神還得靠數學
愛德華·索普，一個數學怪才，作為加州大學洛杉磯分校的物理係研究生，卻對輪盤遊戲念念不忘。他一直認為根據小球的投入角度和運動軌跡可以預測小球的落點，所以他想設計一個基於變量計算的輪盤預測係統。
但現實條件卻製止了他，由於手上的輪盤模型太簡單，又恰巧馬上要畢業了論文還沒寫完，於是對輪盤的研究就停止了。
畢業後，索普對輪盤念念不忘，於是動身去了拉斯維加斯。出發前，他在《美國統計學會會刊》上讀到了一篇關於如何贏得「21 點」遊戲的論文。
此時，索普覺得 21點這個看似比輪盤更有意思，自己也有必要嚐試驗證一下這個論文裏的內容。於是，索普應用論文中的理論去了賭場，可結果輸得很慘。
於是索普開始自己研究「21點」遊戲，不久也原創了自己的一套理論，基於此理論寫了一篇論文叫《21點的常勝策略》。為了順利發表論文，他求助了香農，而香農不但同意幫助索普發表論文，還建議他把題目改成《21點的有利策略》，他表示：「科學院的那些人都很傳統，所以，要低調。」
但論文有個不完善的地方，因為隻是思考「21點」遊戲本身的策略，卻沒有涉及到如何在遊戲過程中如何下注的問題。這時巧合來了，香農告訴他之前有個叫約翰·凱利的同事早就研究完了。
兩個數學大神的思想碰撞在了一起，一個研究怎麽「贏得多」，一個研究怎麽「輸得少」。
於是索普利用凱利公式，對「21點」遊戲進行量化計算，通俗的解釋就是：勝算大的適合多下注，勝算小的時候少下注。憑此理論，索普「血洗」拉斯維加斯各大賭場，又把所有製勝手法寫入了《戰勝莊家》這本書裏，最終被賭場所封殺。之後索普不斷完善理論，在金融市場做量化交易，這是後話。
那麽，凱利呢？很遺憾，也許是天妒英才，凱利突發腦溢血而亡，享年41歲，他至死也沒能被大眾熟知。
但凱利公式，卻在未來慢慢的展現了威力，在 60 多年的發展中，凱利公式被投資界和博彩界奉為經典。
所以，想賺錢？先拜凱利吧。
那凱利到底怎麽用呢？
先看公式，某度百科上寫的比較詳細，這裏我用學渣都看得懂方式寫一下：
f=(b*p-q)/b。
f：單次下注占本金的比例；
b:除去本金外計算的賠率；
p：勝率，這次下注獲勝的幾率；
q：敗率，這次下注失敗的幾率；
（p+q）= 1；
根據凱利公式，用這個 f 比例下注，可以讓收益的複利效應達到最大，且風險較小。
舉個例子：我能來玩投骰子遊戲，投到 1、2、3 （小）你贏，投到 4、5、6（大）我贏，每次遊戲下注 10 元。你贏了你拿走 30 元，你輸了就沒有錢拿。
分析，你投到小的情況如下：
勝率 p= 0.5；
敗率 q= 0.5；
賠率 b=（30-10）/ 10= 20/10 = 2；
如果你有 100 元錢，根據公式：
f=[（2*0.5）-0.5]/2 = 25%
也就是說，在這種勝率下，你可以投 25 元錢試試手氣，最合理。
如果你手氣好到極點，連贏 20 局後，根據公式投注的話，收入是這樣的：
看著一個複利效應的收益曲線，誰能不激動。
但凡你的手氣平衡一點，現實的殘酷就迎麵而來：
這樣收益曲線，讓人忐忑。
現實還能更殘酷，莊家可能不會給你這麽高的賠率，如果換個賠率：你贏了你拿走 20 元，你輸了就沒有錢拿。這樣還好玩嗎？
我再分析一下，你投到小的情況如下：
勝率 p= 0.5；
敗率 q= 0.5；
賠率 b=（20-10）/ 10= 10/10 = 1；
如果你還是有 100 元錢，根據公式：
f=[（1*0.5）-0.5 ]/2 =？？？
此時，數學勸你，這遊戲碰都別碰。
所以根據「凱利公式」就能賺錢嗎？
事實上，凱利公式隻是讓你在最小風險下，來合理分配投資比例。但如果隻依靠凱利公式是完全不可行的。
應用凱利公式需要有兩個前提：
第一：在遊戲中，你的數學期望必須為正值。也就是說，這個遊戲需要從數學的角度來判斷是否值得參與。
第二：單次下注的勝率和賠率必須是固定的，但是勝率從獨立事件上看是不可靠的，我們需要進行足夠的遊戲次數才能判斷勝率是否在統計學上是固定的。
如果隻是單次或幾次，玩遊戲的話，除了相信運氣，其他什麽都別信了。
比爾·巴特之所以可以贏錢，是因為他花費很大精力財力搭建的預測係統，這個係統之前也提到過，凱利公式在係統中提供減少投資風險的作用，而自定義的 MLR 模型其實就是保證自己賽馬的勝率是較高的，才使得賽馬在數學期望上值得玩。