第427章 辛欽單峰性準則

  1905年，保羅萊維開始著手研究關於集合論的一些問題。


  其中一個重要問題，是關於排序的。


  集合論中有特性是無序性。


  所以研究很多數域的時候，關於順序的問題也變得重要起來。


  其中最為重要的是哪些可以排序，哪些不可以排序。


  萊維的老師和顧問為雅克阿達馬。


  他指導萊維做這方麵的研究。


  萊維說：“很多數域都可以正常排序，稱之為全序。而很多數域不能有全序，那也不能貿然看成無序，也要研究偏序性。”


  自然數的集合配備了它的自然次序（小於等於關係）。這個偏序是全序。


  整數的集合配備了它的自然次序。這個偏序是全序。


  自然數的集合的有限子集{1， 2，.……，n}。這個偏序是全序。


  自然數的集合配備了整除關係。


  給定集合的子集的集合（它的冪集）按包含排序。


  向量空間的子空間的集合按包含來排序。


  阿達馬說：“偏序集合是數學中，特別是序理論中，指配備了部分排序關係的集合。這理論將排序、順序或排列這個集合的元素的直覺概念抽象化。這種排序不必然需要是全部的，就是說不必要保證此集合內的所有對象的相互可比較性。部分排序集合定義了部分排拓撲。”


  萊維說：“一般的說偏序集合的兩個元素x和y可以處於四個相互排斥的關聯中任何一個：要麽xy，要麽x和y是“不可比較”的（三個都不是）。全序集合是用規則排除第四種可能的集合：所有元素對都是可比較的，並且聲稱三分法成立。自然數、整數、有理數和實數都關於它們代數（有符號）大小是全序的，而複數不是。”


  阿達馬說：“這不是說複數不能全序排序；比如我們可以按詞典次序排序它們，通過x+iy小於u+iv當且僅當x小於u或x等於u且y小於v，但是這種排序沒有合理的大小意義因為它使得1大於100i。按絕對大小排序它們產生在其中所有對都是可比較的預序，但這不是偏序因為1和i有相同的絕對大小但卻不相等，違反了反對稱性。”