第395章 雷諾數
1979年，羅伯特·朗蘭茲突發奇想，覺得自己能統一整個數學。
“數學之間是可以聯係的吧？”羅伯特·朗蘭茲陷入深深的思索。
“一定的，數學是可以全部被統一的，任何一種類型的數學它背後的本質一定相同。”
對於朗蘭茲來說，把每個數學模型背後真正的本質給找出來，並證明是同一個東西即可。
數論好理解。自守形式隻不過是三角函數和橢圓函數的推廣而已。群裏最後也要轉化成那種連續群來作為一個單位。
1988年，朗蘭茲（Langlands）是第一個獲得美國國家科學院數學獎的人。他獲獎是由於“將群表示論帶入到與自守形式理論和數論的革命性新關係的非凡遠見”。
數學家一直想要找尋質數的規律。質數就像是數論的原子元素，是算法研究的基礎。它們的數量是無限的，但它們的分布卻似乎是隨機地散落在數位中。為了找到質數中的規律，比如它們出現的頻率，數學家必須將它們與其他事物聯係起來。準確說來，質數就像一個密碼，當你找到正確的閱讀密鑰時，它就變成了令人愉悅的信息。質數看起來非常隨機，但通過朗蘭茲綱領，就會發現它們有著一個非常複雜的結構，能夠與各種其他事物聯係起來。
2018 年3 月20 日，挪威科學與文學院宣布，『2018 年度的阿貝爾(Abel)獎』授予普林斯頓高等研究院的羅伯特?朗蘭茲(Robert Langlands)，以表彰他提出了連接表示論和數論的極具遠見的綱領。他所提出來的『朗蘭茲綱領』試圖構建數學中的大統一理論，這是一代代數學家所追求的目標。
羅伯特.朗蘭茲，加拿大數學家，普林斯頓高等研究院的榮譽退休教授、加拿大皇家學會會員、倫敦皇家學會會員。其在非交換調和分析、自守形式理論和數論的跨學科領域進行深入研究，得出把它們統一在一起的朗蘭茲綱領，並首先證明GL(2)的情形，這個綱領推廣了阿貝爾類體論、赫克(Hecke)理論、自守函數論以及可約群的表示理論等。
朗蘭茲所提出的朗蘭茲綱領探討的是現代數學中的兩大支柱『數論與調和分析』之間的深層聯係。數論研究的數字之間的算法關係，被認為是『最純』的數學領域;調和分析是數學的一個重要分支，研究及擴展富氏極數及富氏變換。之前，這兩個領域被認為是毫無關聯的，而它們之間的聯係其實有著深遠的影響，被數學家用來解答與質數性質有關的問題。同時，朗蘭茲綱領提出了數論中的伽羅瓦(Galois)表示與分析中的自守型之間的一個關係網。
有一個與質數結構相關的問題是:『哪些質數能用兩個質數的平方和表示。』在17世紀，數論學家發現，所有能用兩個質數的平方和表示的質數都有一個共同性質，當它們除以4 時，餘1。這一發現揭示了質數的一種隱藏結構。到了18 世紀末期，數學家高斯(Gauss)對這一奇妙的關聯進行了概括，它的『互反律』用公式將那些等於兩個質數的平方和的質數，與除以4 餘1這個特征聯係了起來。在朗蘭茲的信中，他在高斯發現的互反律基礎上，提出了更廣泛的延伸。
高斯的定律適用於指數不高於2 的二次方程。但朗蘭茲認為，在三次、四次等高階方程中產生的質數，應該與調和分析成互反關係。朗蘭茲綱領就將多項式方程的質數值與分析和幾何學中研究的微分方程的譜相聯係到一起，並認為這兩者之間應該存在互反關係。因此，我們應該能通過了解哪些數字出現在相應的光譜中，來表示哪些質數出現在特定的情況中。
1967 年，朗蘭茲首次闡述了這一構想，當時年僅30 歲的朗蘭茲在一封寫給著名數學家安德烈?韋伊(Andr′e Weil)的信中提到了這一計劃，這是一個思考數學的全新方式。在這封17頁長的信中，他謙和的寫道:「如果您願意把它看作是純粹的推測，我會很感激;如果不願意，我相信您身邊就有一個廢紙簍。」
從那時起，一代又一代的數學家開始接受並擴展了他的構想。現在，朗蘭茲綱領所涵蓋的領域非常多，因此通常被認為是數學界的『大統一理論』。就數學史而言，這可以說是革命性的。
1979 年，朗蘭茲發展了一項雄心勃勃的革命性理論，將數學中的兩大分支數論和群論之間建立了新的聯係。通過一係列的推測和分析，發現了與涉及整數的公式有關的不可思議的對稱性，並以此提出『朗蘭茲綱領』。朗蘭茲知道，證明自己理論立基的假設這項任務需要幾代人的共同努力，而證明『基本引理』將是證明這項假設的合理跳板。他和同事以及學生雖然能夠證明這一基本定理的特殊情況，但證明普通情況所麵臨的挑戰卻大大超出他的預想。這項難度極高的工作整整曆時30 年才由數學家吳寶珠證明完成。
朗蘭茲綱領是當今數學領域非常活躍的研究方向，它聯係了三種來源各異的數學對象:伽羅瓦表示(算術對象)、自守表示(分析對象)和代數簇的各種上同調理論(幾何對象)，使得相應的三種不變量[阿廷L函數、自守L 函數、哈斯-威爾(Hasse-Weil) L 函數]相匹配。這三大領域的結合為數論問題提供了有力的杠杆，懷爾斯(Wiles)、泰勒(Taylor)等證明的穀山-誌村(Taniyama-Shimura)猜想便是一個範例。朗蘭茲綱領的核心問題是函子性(functoriality)猜想，蘊含了很多著名的猜想，如阿廷猜想、拉馬努金猜想、佐藤-塔特(Misaki-Tate)猜想等。
其中，跡公式是研究朗蘭茲綱領的一個重要工具。可見，研究朗蘭茲綱領的團隊需要數論、代數群、李群表示論和代數幾何專長的研究人員。
如今，研究朗蘭茲綱領的數學家正試圖證明這種關係以及其他許多相關的猜想。與此同時，他們正在用朗蘭茲型的聯係來解決那些本看似遙不可及的問題。其中最著名的成果是數學家安德魯．懷爾斯在20世紀90年代初對費馬大定理的證明。懷爾斯的證明部分取決於朗蘭茲早在幾十年前就預言過的數論和分析之間的關係。
另外，越南數學家吳寶珠試圖用公式表述一項有關基本引理的精巧證法，終於在2009年證明。吳寶珠說:「我隻是證明了綱領的基本引理，不是整個綱領。我們的下一個目標是整個朗蘭茲綱領，基本引理隻是它的基礎，是其中一座小山峰。爬過這座山峰後，現在可以瞭望朗蘭茲綱領了。前麵是一座大山，我們的問題是如何爬上去。其中一件事是朗蘭茲回來了，他將為我們指示解決整個綱領的新路線。我認為，整個綱領也許需要我一生的時間。」
事實上，朗蘭茲綱領是數學中一係列影響深遠的構想，聯係數論、代數幾何與約化群表示理論。這些年來，朗蘭茲綱領已取得巨大的擴展。然而，當拋開那些為了實現朗蘭茲的構想而建立的複雜係統時，會發現激勵這個龐大構想最初動力的仍是最基本的數學問題。理解方程中出現質數的性質，基本上就等同於對算術世界的基本分類。
自從1990 年以來，有3位數學家的工作因為部分解決了朗蘭茲綱領中的猜想，從而獲得了菲爾茲獎，這足以看出朗蘭茲綱領的重要性：
第一位烏克蘭數學家弗拉基米爾?德林費爾德(Vladimir Drinfeld)。由於他在朗蘭茲綱領和量子群這兩個領域取得了決定性的突破並促進了一大批研究的進展，他於1990 年獲得菲爾茲獎。
第二位洛朗?拉佛閣(Laurent Laffue)。他證明了與函數體情形相應的整體朗蘭茲綱領，於2002 年獲得了菲爾茲獎。拉佛閣所證明的相應的整體朗蘭茲綱領，對更抽象的所謂函數體而非通常的數體情形提供了這樣一種完全的理解。
第三位吳寶珠。『通過引入新的代數-幾何學方法，吳寶珠證明了朗蘭茲綱領自守形式中的基本引理』，
代數、幾何、數論、分析與量子物理等領域的研究內容乍一看似乎相去甚遠，但是朗蘭茲綱領卻在這些不同的數學分支之間建立起千絲萬縷的聯係。如果我們把這些分支看成數學這個秘密世界中的一塊塊大陸，朗蘭茲綱領就是功能強大的運輸工具，可以讓我們在各個大陸之間瞬時往返。
在數學中，被稱為『綱領』的成果屈指可數，出名的僅有愛爾蘭根(Erlanger)綱領、希爾伯特(Hilbert)綱領和朗蘭茲綱領這三個。
朗蘭茲綱領指出這三個相對獨立發展起來的數學分支:數論、代數幾何和群表示論，實際上是密切相關的，而連接這些數學分支的紐帶是一些特別的函數，被稱為L-函數。
L-函數可以說是朗蘭茲綱領的中心研究對象。數學界著名的七個『千禧年大獎問題』中有兩個就是關於L-函數的，分別是黎曼(Riemann)假設和BSD 猜想。
朗蘭茲提出了怎樣對一般的簡約群的自守表示定義一些L-函數，並猜測一般線性群自守表示的一些L-函數跟來自數論的伽羅瓦群的一些表示的L-函數是一樣的。這個猜想被朗蘭茲本人和其他數學家進一步拓展、細化，逐漸形成了一係列揭示數論、代數幾何、表示論等學科之間深刻聯係的猜想。
特別地，拉佛閣所證明的相應的整體朗蘭茲綱領，對更抽象的所謂函數體而非通常的數體情形提供了這樣一種完全的理解。我們可以將函數體設想為由多項式的商組成的集合，對這些多項式商可以像有理數那樣進行加、減、乘、除。拉佛閣對於任意給定的函數體建立了其伽羅瓦群表示和與該體相伴的自守型之間的精確聯係。拉佛閣的研究是以1990 年菲爾茲獎獲得者弗拉基米爾?德林費爾德的工作為基礎，後者在20 世紀70 年代證明了相應的朗蘭茲綱領的特殊情形。拉佛閣首先認識到德林費爾德的工作可以被推廣而為函數體情形的相應的朗蘭茲綱領提供一幅完整的圖像。在這一工作的過程中，拉佛閣還發現了一種將來可能被證明是十分重要的新的幾何構造，所有這些發展的影響正在波及整個數學。
朗蘭茲綱領是對現在數學諸多領域一種統一性的看法和普遍性的觀點，由一係列規模宏大的猜想所組成，其中有些猜想甚至還沒有形成明確的數學語言。朗蘭茲綱領還有很多的各種各樣的推廣，比如說幾何朗蘭茲綱領可能和物理關係更密切一點，還有p‘-adic 的朗蘭茲綱領和數論的關係更加密切一點這裏還有很多的問題等等大家去探索。朗蘭茲綱領是數學中一係列影響深刻的構想，聯係了數論、代數幾何以及群表示理論。依靠朗蘭茲綱領，數學家在一個領域不能解決的問題，可以在其他領域證明解決。而如果在另一個領域內仍然難以找到答案，那麽可以把問題再轉換到下一個數學領域中，直到它被解決為止。所以，朗蘭茲綱領是21 世紀最大的數學難題，也是未來最有潛力的研究領域!