第383章 維納—霍普夫方法

  此後唐納森引進了適合研究丘成桐猜想的代數幾何意義下的K-穩定性概念，並在2010年公布了證明K-穩定性與Kahler-Einstein度量存在等價性的丘成桐猜想的綱領，最近（編者注：指2013年）陳秀雄－唐納森-孫菘在網上發表了三篇文章實現了這些想法，而田剛在唐納森綱領的基礎上也宣稱完成了這個猜想的證明。由於這些文章都相當複雜，如唐納森等人寫了三篇長文，田剛在貼出自己的文章後還在不斷地做出修改，所以這些證明的正確性還有待專家們詳細驗證。


  第一陳類大於零的複流形也叫作法諾流形，這類流形比第一陳類小於零的流形相對來得少，其內容也遠不如後者豐富，例如複一維情形隻有一個球麵，而複二維的流形從拓撲來看也隻是複投影空間吹大幾個點。更有意思的是代數幾何中研究這類流形的工具也遠比微分幾何的方法強大，特別是1979年森重文（Mori）在法諾流形上用有限域的技巧發現的有理曲線存在性，這是迄今為止微分幾何方法一直無法超越的天才發明。以此為工具，代數幾何學家對法諾流形幾何的了解走在了微分幾何研究的前麵。


  這種情況與第一陳類小於和等於零的情形形成了鮮明的對比，這兩類流形包含比法諾流形豐富得多的例子，而由於丘成桐證明的卡拉比猜想，在這些流形的研究中，微分幾何的方法和工具更強大也更有效。這裏我們還要注意到，正如唐納森等人在他們的文章中所闡述的，K-穩定性並不是一個容易驗證的條件，其實用性也與丘成桐所證明的卡拉比猜想相差甚遠。目前他們所證明的丘成桐猜想唯一有意思的推論還是丘成桐所指出的，K-穩定形可以推出切叢的穩定性。所以即使K-穩定性等價於Kahler-Einstein度量的存在性的猜想得到證明，其重要性也需要在日後的應用中才能得到檢驗。而丘成桐本人則在勾畫了他的猜想的證明綱領後，便將題目交給了他的學生和朋友，一方麵他認為他的猜想雖然重要，但與他證明的卡拉比猜想相比還是有很大的距離，另一方麵他認為弦理論引發的數學問題要比他自己的猜想更具挑戰性，也有更大的潛力。事實上，他和他的學生與博士後在Calabi-Yau流形上的工作已經在近代數學中開創了一個新的重要研究方向。至於丘成桐猜想證明的正確性和其在幾何學中的前景，隻有他這個開創者和專家才有資格來評判了。