第329章 拉馬努金恒等式

  辛欽對馬爾科夫說：“你發現了一種重要的概率模型嗎？”


  馬爾科夫說：“沒錯，名字叫馬爾科夫鏈。”


  辛欽說：“描述一下，我聽聽合不合理，重不重要。”


  馬爾科夫說：“當一個隨機過程在給定現在狀態及所有過去狀態情況下，其未來狀態的條件概率分布僅依賴於當前狀態。”


  辛欽說：“與之前很久時間的狀態無關，是這個意思嗎？”


  馬爾科夫點點頭。


  辛欽說：“有個好的例子嗎？”


  馬爾科夫說：“一隻被切除了大腦的白鼠在若幹個洞穴間的躥動就構成一個這樣的鏈。因為這隻白鼠已沒有了記憶，瞬間而生的念頭決定了它從一個洞穴躥到另一個洞穴；當其所在位置確定時，它下一步躥往何處與它以往經過的路徑無關。”


  辛欽認為這一模型的哲學意義是十分明顯的，他說：“就是承認客觀世界中有這樣一種現象，其未來由現在決定的程度，使得我們關於過去的知識絲毫不影響這種決定性。這種在已知“現在”的條件下，“未來”與“過去”彼此獨立的特性就被稱為馬爾科夫性，具有這種性質的隨機過程就叫做馬爾科夫過程，其最原始的模型就是馬爾科夫鏈。”


  馬爾科夫說：“這就是一種無記憶性。”


  辛欽說：“你從哪裏來的這個想法？”


  馬爾科夫說：“這即是對惠更斯提出的無後效原理的概率推廣，也是對法國數學家拉普拉斯機械決定論的否定。”


  辛欽說：“有些意思，上升到某些哲學意味了。你這樣做就是開始考慮相依隨機變量序列的規律。”


  馬爾科夫說：“從中選出了最重要的一類加以研究。這種如同鎖鏈般環環相扣的隨機變量序列，其中某個變量各以多大的概率取什麽值，完全由它前麵的一個變量來決定，而與它更前麵的那些變量無關。”


  辛欽認為，馬爾科夫所建立的概率模型不但具有深刻的哲學意義，而且具有真實的物質背景，在他的工作之前或同時，一些馬爾科夫鏈或更複雜的隨機過程的例子已出現在某些人的研究中，隻不過這些人沒有自覺地認識到這類模型的普遍意義或用精確的數學語言表述出來罷了。


  辛欽說：“除了有深刻的哲學意味，還有很多物理方麵的不錯的解釋。比如布朗運動，家族遺傳規律，容器中分子擴散使用，傳染病感染人數，謠言是散播，原子核中電子躍遷，人口的增長等。”


  馬爾科夫笑說：“有趣的是，我倒是沒有太多的注意有關物理的模型。而是統計了長詩《葉甫蓋尼·奧涅金》中元音字母和輔音字母交替變化的規律：這是長詩開頭的兩句，意為：“我不想取悅驕狂的人生，隻希望博得朋友的欣賞。”詩人那火一般的詩篇在數學家那裏變成了一條冷冰冰的鎖鏈：在這條鎖鏈上隻有兩種鏈環，C代表輔音、代表元音，此處為了使問題簡化起見，不仿把兩個無音字母算作輔音。馬爾科夫分別統計了在C後麵出現C和的概率p和1-p，以及在後出現C和的概率q和1-q，把結果與按照俄語拚音規則計算出的結果進行比較，證實了語言文字中隨機的從概率的意義上講，字母序列符合他所建立的概率模型。”


  辛欽說：“原來是利用了語言文學方麵的材料來說明性質。”


  後來，馬爾科夫完成了關於鏈的大數定律的證明之後，馬爾科夫又開始在一係列論文中研究鏈的中心極限定理。


  1907年他在《一種不平常的相依試驗》中證明了齊次馬爾科夫鏈的漸近正態性；

  1908年在《一個鏈中變量和的概率計算的極限定理推廣》中作了進一步的推廣；


  1910年他發表了重要的論文《成連鎖的試驗》，在其中證明了兩種情況的非齊次馬爾科夫鏈的中心極限定理。與此同時他在一些假定的前提下證明了模型的各態曆經性，成為在統計物理中具有重要作用的遍曆理論中第一個被嚴格證明的結果。遍曆理論亦稱ergodic理論，是奧地利物理學家玻耳茲曼（L. Boltzmann， 1844－1906）於1781年提出來的，其大意是：一個係統必將經過或已經經過其總能量與當時狀態相同的另外的任何狀態。