第540章 幾何山羊問題
假如有一個圓形的圍欄圍著一片草地，將一隻山羊拴在圍欄內，請問栓羊的繩子需要多長，才能讓山羊的食草範圍為所圍麵積的一半？
這個看似簡單的問題，人們對它的思考其實已經有270多年的曆史了。然而即便經過了如此長的時間，數學家隻能給出這個問題的近似解，而無法知道確切的解。
這個問題可被稱為幾何山羊問題，它分為兩種：內部山羊問題和外部山羊問題。就在今年2月，來自德國的數學家Ingo Ullisch通過推導出一個能表示繩長的表達式，找到了內部山羊問題的首個精確解。
雖然Ullisch隻討論了內部山羊問題，但為了完整起見，讓我們簡要回顧一下外部問題和內部問題各自的發展曆史。
外部山羊問題最早可追溯到1748年，它的最初版本出現在了倫敦的一個數學期刊上。那時，問題中的動物還不是山羊，而是一匹馬：一匹馬被拴在公園裏的圓形圍欄上，圓形圍欄的周長為160碼，與拴住了馬的繩子長度相同。問，馬可以走動的最大麵積是多少？
這便是外部山羊問題所探討的。其解答出現在1749年，相同的期刊刊登了一份來自Mr Heath的答案：對於一根長160碼的繩子，馬可以獲得的移動範圍是76257.86平方碼。不過，這隻是個近似值，而不是精確解。更精確的解由數學家Michael Hoffman於1998年給出，他用光滑的凸曲線代替了圓形欄杆，給出了這一問題在一般情況下的解。
內部問題最初發表於1894年的《美國數學月刊》，這個問題的最初版本大致為：一個包含了一英畝土地的圓與另一個圓相交，另一個圓的中心在第一個圓的圓周上，兩個圓的相交麵積為半英畝。問：另一個圓的半徑為多少？
內部問題往往比外部問題更具挑戰性。在外部問題中，我們能從圓的半徑和繩子的長度開始計算麵積，因此可以借助積分來進行求解。而內部問題的求解需要逆轉這一過程，它是從已知的麵積來推斷形成了這一麵積的半徑，處理起來要複雜得多。
在接下來的幾十年裏，《美國數學月刊》上刊登過內部問題的各種版本，圍欄的形狀有圓形、方形，也有橢圓形。1984年，數學家Marshall Fraser將問題從二維的平麵推到了更廣闊的領域。他計算出，對於一個n維的球體（n趨於無窮），需要多長繩子，才能讓一隻山羊在這個n維球體的一半空間中自由食草。
後來，數學家Mark Meyerson發現了Fraser的論證中存在的邏輯錯誤，在糾正了這一錯誤後，Meyerson得到了與Fraser相同的結論：當n接近無窮時，繩與球體半徑的比例接近√2。
其實對於這個幾何問題，看似更加複雜的多維空間比平坦的二維平麵更容易找到解。例如近年來，數學家Graham Jameson和他的兒子Nicholas Jameson就對內部問題的三維情況進行了研究，在他們的研究中，在三維球體內移動的從山羊變成了鳥。
2017年，Jameson父子發表了一篇論文，文中描述了如果用繩子將一隻鳥拴在一個球形籠子上的一點，那麽這根繩子需要多長，才能將鳥的移動範圍限製在籠子的一半體積內。不過，他們得到的答案有著十分複雜的數學表達式，因此他們還使用了一種近似技術來幫助“鳥類馴養者”計算想要的繩子長度。
Ullisch對這個問題的研究始於2017年，那時，剛剛獲得博士學位的Ullisch想要用一種新的方法來解決這個問題。當時，一個眾所周知的思路是，幾何山羊問題可被簡化為一個超越方程。超越方程包括正弦和餘弦等三角函數的很多項，這會給求解造成困難，因為許多超越方程都難以處理，比如 x = cos(x)就沒有精確解。
但Ullisch發現，幾何山羊問題最終可被簡化為求解超越方程：
這是一個相較而言更易處理的方程。Ullisch意識到，他可以運用複分析進行求解。複分析是一個已存在了幾個世紀的數學分支，它涉及到將分析工具（如微積分）應用於含有複數的表達式中。
Ullisch的工作是首個將複分析用於求解幾何山羊問題的嚐試。通過這種方法，他將上述的超越方程轉化成了繩子長度的等效方程，用一個精確的數學公式解答了這個問題。
不過美中不足的是，Ullisch得到的解可能有些複雜——它是兩個圍道積分式的比值，當中涉及到大量的三角函數混雜在一起。但是，Ullisch認為這一結果仍舊是很有意義，因為它是一個精確的解，即使它算不上簡潔。
據Quanta Magazine報道，現在，得到了首個精確解的Ullisch決定暫時把幾何山羊問題擱置在一旁，因為他不確定該如何進行下一步。但其他數學家仍在研究這個問題的道路上摸索，比如有數學家希望利用球麵的性質來研究在三維空間中的一般化的幾何山羊問題。
Ullisch認為，這是一個相對獨立的問題，它的求解應該不會帶來顛覆教科書或撼動數學研究的效果。但他希望求解這樣的謎題或許能引發新的數學思想，幫助求解其他問題的研究人員提供意外的新方法。