第382章 伯格曼核

  在此之前丘成桐也考慮了如何用伯格曼核的想法來逼近Kahler-Einstein度量，如何將卡拉比猜想推廣到開流形與有奇點的流形上，並在幾篇著名的綜述文章中予以詳細的闡述。


  與第一陳類小於和等於零的情況相反，直到丘成桐提出他的猜想前，第一陳類大於零的情況一直顯得頗為迷離。


  首先這類流形有不存在Kahler-Einstein度量的例子。


  在20世紀60年代，鬆島（Matsushima）證明了Kahler-Einstein流形的自同構群必須可約。


  80年代初，福複（Futaki）引進了此類流形上存在Khler-Einstein度量的障礙函數，被稱之為福複不變量。


  事實上，很多學者，如卡拉比、福複等都誤以為沒有全純向量場應該是Kahler-Einstein度量存在的唯一必要條件，並沒有意識到流形本身穩定的重要性。


  在較特殊的複二維情形，有一些存在性結果，但蕭蔭堂一直認為，這些結果並不完備，至今也還沒有完整的結果。此後近30年，田剛一直沿著丘成桐猜想所指出的研究方向不懈努力，試圖理解正曲率條件下，穩定性與Kahler-Einstein度量的存在性如何相關，他用福複不變量定義了一個解析穩定性的概念，稱為K-穩定性，並取得了一些進展。然而這個問題的真正突破來自於唐納森，他在2001年證明了如果卡勒流形上的卡勒類中存在一個常數量曲率的度量，並且其自同構群是離散的，那麽這個流形就是在代數幾何意義下是穩定的。唐納森所用的關健工具恰好是丘成桐考慮過的伯格曼核的逼近方法，他敏銳地觀察到伯格曼核漸進展開的第二項正是數量曲率，如果它為常數，則相應的偏微分方程便可解。