第359章 德拉姆上同調
卡拉比猜想是由意大利著名幾何學家卡拉比在1954年國際數學家大會上提出的：在封閉的空間，有無可能存在沒有物質分布的引力場。
卡拉比（Calabi）猜想在數學界的期盼中，等待著它真正的王者到來，這一等就是21年。
1941年的霍奇（Hodge）理論剛剛由魏爾（eyl）和小平邦彥（Kodaira）整理完成。
1945年陳省身引進的陳示性類由希策布魯赫（Hirzebruch）發揚光大，證明了拓撲中的符號差定理與代數幾何中的Hirzebruch-Riemann-Roch定理。
工程師出身的博特（Bott）證明了他不朽的同倫群周期性定理。
這些結果很快激發出了Atiyah-Singer指標定理。塞爾（Serre）用勒雷（Leray）的譜序列計算了代數拓撲中球麵的同倫群，用層論寫下了代數幾何名篇GAGA，將複分析係統地引入代數幾何。
Kodaira證明了他著名的嵌入定理，發展了複流形的形變理論。
稍後，米爾諾（Milnor）發現了七維怪球，納什（Nash）證明了黎曼（Riemann）流形的嵌入定理。
1954年的國際數學家大會，菲爾茲（Fields）獎的獲獎者是小平邦彥（Kodaira）和塞爾（Serre），他們的主要獲獎工作都是將複分析、微分幾何與代數幾何完美地結合在一起。
31歲的意大利裔數學家卡拉比，在會議的邀請報告中用一頁紙寫下了他著名的猜想：令M為緊致的卡勒（Kahler）流形，那麽對其第一陳類中的任何一個（1，1）形式R，都存在唯一的一個卡勒度量，其Ricci形式恰好是R。卡拉比還粗略地描述了一個他的猜想的證明方案，並證明了，如果解存在，那必是唯一的。
但3年後，在1957年的一篇關於Calabi-Yau流形的幾何結構的文章中，他意識到這個證明根本行不通。這裏需要求解一個極為艱深而複雜的偏微分方程，叫作複的Monge-Ampere方程。他去請教20世紀最偉大的數學家之一的魏爾（Andre eil）教授。魏爾說：“當時還沒有足夠的數學理論來攻克它。”
眾所周知，龐加萊（Poincare）著名的單值化定理告訴我們，一維複流形的萬有覆蓋隻有簡單的三種，球麵、複平麵和單位圓盤。
如何將單值化定理推廣到高維流形，這個問題幾乎主導了現代幾何與拓撲的發展。而即使從複一維到複二維流形，問題的複雜性已經遠超想象，被數學家稱作是從天堂到了地獄。或者說是上帝創造了黎曼麵，簡單美麗而又豐富多彩，是魔鬼製造了複曲麵，內容複雜，令人眼花繚亂，頭暈目眩。
卡拉比猜想可以認為是單值化定理在高維不可思議的大膽推廣，竟然給出了高維複流形中難得一見的一般規律。
特別的是它在複卡勒流形的第一陳類大於零、等於零和小於零三個情形，指出了Kahler-Einstein度量的存在性，即此度量的第一陳形式等於其卡勒形式。
這恰好對應於黎曼麵三種單值化的推廣。
要知道，當時人們知道的愛因斯坦流形的例子都是局部齊性的，甚至都不知道複投影空間中的超曲麵，如K3曲麵上，是否有愛因斯坦度量。
正如龐加萊的單值化定理，霍奇定理需要經過數年，乃至數十年努力才得到完美的證明一樣，卡拉比猜想也在數學界的期盼中，等待著它真正的王者到來，這一等就是21年。
讀研究生的第一年，丘成桐初試身手，便解決了微分幾何中一個有關負曲率流形基本群的結構問題，事後他才知道這就是微分幾何中著名的沃爾夫猜想。
這一點頗像米爾諾（Milnor）把扭結理論裏的猜想當成家庭作業完成一樣。
為了解決卡拉比猜想，他需要係統地創建和發展流形上的非線性分析，特別是Monge-Ampere方程的理論、方法與技巧。
他先與鄭紹遠合作，用實的Monge-Ampere方程解決了著名的閔可夫斯基（Minkoein）問題，此後再將他自己發展的梯度估計技術發揮到極致，終於在1975年完全解決了卡拉比猜想。
首先，對於第一陳類小於和等於零的緊卡勒流形，卡拉比猜想告訴我們，Kahler-Einstein度量總是存在。
其中對小於零的情形，其簡單的推論就解決了長期懸而未決的Severi猜想，複二維投影空間的複結構是唯一的，甚至任意維數複投影空間的卡勒複結構也是唯一的。
另一個匪夷所思的推論是，在任意維數的這類複流形上，存在一個奇妙的陳示性數不等式，而此前代數幾何學家卻隻能得到複二維的情形。
第一陳類等於零的二維複流形是有名的K3曲麵，托爾羅夫（Todorov）用Calabi-Yau定理證明了其周期映射是滿射，蕭蔭堂利用Calabi-Yau度量證明了所有的K3曲麵都是卡勒曲麵。
而高維數的第一陳類為零的複流形的基本結構定理也隨之而來。
這些都是複幾何與代數幾何中著名的猜想，在卡拉比猜想證明之前，人們毫無辦法，望而卻步。
最令人驚奇的是上世紀80年代初，超弦學家們認識到第一陳類等於零的三維複流形，恰好是他們的大統一理論所需要的十維時空中的一個六維空間，這神秘的六維空間，在我們看不到的尺度裏主宰著我們大千世界的千變萬化。
這個發現引發了物理學的一場革命。
物理學家們興奮地把這類流形稱為Calabi-Yau空間，Yau便是丘成桐的英文姓氏。
有興趣的朋友如果在Google中輸入Calabi-Yau，就會發現近40萬個條目。
以至於不少物理學家都以為Calabi是丘成桐的名字。
正如威滕（itten）所言，在這場物理學的革命中，每一個有重要貢獻的人都會名揚千古。
Calabi-Yau也在數學中引發了一係列重大的進展，如超弦學家delas等人通過研究不同的Calabi-Yau流形給出的相同的超對稱共形場論所發現的鏡對稱猜想。這個猜想由丘成桐、連文豪與我以及Givental獨立證明，它解決了代數幾何中遺留了上百年的舒伯特（Schubert）計數問題。
基於Calabi-Yau流形的基本結構，著名超弦學家威滕、瓦法（Vafa）等人發展的-Simons與拓撲弦對偶理論給出了黎曼麵模空間中許多奇妙的公式，如Marino-Vafa公式給出了無窮多個模空間積分的組合閉公式，此猜想由劉秋菊、周堅與我一起證明。
可以說Calabi-Yau流形早已成為弦論學家們必不可少的魔匣，利用它，他們不斷地變換出令人炫目的猜想，這已經成為數學與理論物理發展的潮流，至今方興未艾。
Calabi-Yau空間
霍奇理論、小平邦彥嵌入定理、Calabi-Yau定理是複幾何發展史上的三個最偉大的裏程碑，也是整個數學中屈指可數的最美妙的定理。
它們有許多異曲同工的地方。
它們都是用微分幾何證明的，都是連接幾何與其他領域必不可少的橋梁，如代數幾何等。
它的定義就是用非線性微分方程的方法來係統地解決幾何與拓撲中的難題，反過來也用幾何的直觀與想法來理解偏微分方程的結構。
丘成桐在1978年的國際數學家大會的大會報告中係統而清晰地描繪了幾何分析與高維單值化理論的發展前景。
由此方法，一係列著名的問題得到解決，特別是唐納森（Donaldson）為代表的規範場理論與低維拓撲的結合，漢密爾頓（Hamilton）的Ricci流與龐加萊猜想的曆史性進展，將幾何分析的發展帶到了一個高峰。
另一個與卡拉比猜想密切相關的問題是代數幾何中全純向量叢的穩定性與其上的Hermitiaein度量的對應問題，這個問題約化成一個與規範場理論相關的極為困難的非線性方程解的存在性問題。
1986年丘成桐與烏倫貝克（Uhlenbeck）合作，在卡勒流形上完全解決了這個問題。
稍後，唐納森也在投影流形上用不同的方法將這個問題解決。
1988年，辛普森（Simpson）將這些結果推廣並與霍奇變分理論相結合，發展成為代數幾何中一個極為有效的工具。
對於複流形的切叢，Kahler-Einstein度量可以認為是沒有撓率的Hermitiaein度量，所以Kahler-Eienstein度量意味著流形的切叢在代數幾何意義下是穩定的，但要更細致更深刻。
多年來，丘成桐一直考慮什麽樣的代數穩定性對應著Kahler-Einstein度量的存在。
從我1988年來到哈佛成為丘成桐的學生，他的討論班裏最多的話題就是代數幾何中各種穩定性的概念與相關的度量和分析問題。
第65個問題就猜測Kahler-Einstein度量的存在性應該等價於代數幾何中幾何不變量意義下的穩定性。
在第一陳類大於零的複流形上，這個猜想首次給出了Kahler-Einstein度量存在的充分必要條件，建立了標準度量與代數幾何的密切關係。
在此之前丘成桐也考慮了如何用伯格曼核的想法來逼近Kahler-Einstein度量，如何將卡拉比猜想推廣到開流形與有奇點的流形上，並在幾篇著名的綜述文章中予以詳細的闡述。
與第一陳類小於和等於零的情況相反，直到丘成桐提出他的猜想前，第一陳類大於零的情況一直顯得頗為迷離。
首先這類流形有不存在Kahler-Einstein度量的例子。
在20世紀60年代，鬆島（Matsushima）證明了Kahler-Einstein流形的自同構群必須可約。
80年代初，福複（Futaki）引進了此類流形上存在Khler-Einstein度量的障礙函數，被稱之為福複不變量。
事實上，很多學者，如卡拉比、福複等都誤以為沒有全純向量場應該是Kahler-Einstein度量存在的唯一必要條件，並沒有意識到流形本身穩定的重要性。
在較特殊的複二維情形，有一些存在性結果，但蕭蔭堂一直認為，這些結果並不完備，至今也還沒有完整的結果。此後近30年，田剛一直沿著丘成桐猜想所指出的研究方向不懈努力，試圖理解正曲率條件下，穩定性與Kahler-Einstein度量的存在性如何相關，他用福複不變量定義了一個解析穩定性的概念，稱為K-穩定性，並取得了一些進展。然而這個問題的真正突破來自於唐納森，他在2001年證明了如果卡勒流形上的卡勒類中存在一個常數量曲率的度量，並且其自同構群是離散的，那麽這個流形就是在代數幾何意義下是穩定的。唐納森所用的關健工具恰好是丘成桐考慮過的伯格曼核的逼近方法，他敏銳地觀察到伯格曼核漸進展開的第二項正是數量曲率，如果它為常數，則相應的偏微分方程便可解。此後唐納森引進了適合研究丘成桐猜想的代數幾何意義下的K-穩定性概念，並在2010年公布了證明K-穩定性與Kahler-Einstein度量存在等價性的丘成桐猜想的綱領，最近（編者注：指2013年）陳秀雄－唐納森-孫菘在網上發表了三篇文章實現了這些想法，而田剛在唐納森綱領的基礎上也宣稱完成了這個猜想的證明。由於這些文章都相當複雜，如唐納森等人寫了三篇長文，田剛在貼出自己的文章後還在不斷地做出修改，所以這些證明的正確性還有待專家們詳細驗證。
第一陳類大於零的複流形也叫作法諾流形，這類流形比第一陳類小於零的流形相對來得少，其內容也遠不如後者豐富，例如複一維情形隻有一個球麵，而複二維的流形從拓撲來看也隻是複投影空間吹大幾個點。更有意思的是代數幾何中研究這類流形的工具也遠比微分幾何的方法強大，特別是1979年森重文（Mori）在法諾流形上用有限域的技巧發現的有理曲線存在性，這是迄今為止微分幾何方法一直無法超越的天才發明。以此為工具，代數幾何學家對法諾流形幾何的了解走在了微分幾何研究的前麵。
這種情況與第一陳類小於和等於零的情形形成了鮮明的對比，這兩類流形包含比法諾流形豐富得多的例子，而由於丘成桐證明的卡拉比猜想，在這些流形的研究中，微分幾何的方法和工具更強大也更有效。這裏我們還要注意到，正如唐納森等人在他們的文章中所闡述的，K-穩定性並不是一個容易驗證的條件，其實用性也與丘成桐所證明的卡拉比猜想相差甚遠。目前他們所證明的丘成桐猜想唯一有意思的推論還是丘成桐所指出的，K-穩定形可以推出切叢的穩定性。所以即使K-穩定性等價於Kahler-Einstein度量的存在性的猜想得到證明，其重要性也需要在日後的應用中才能得到檢驗。而丘成桐本人則在勾畫了他的猜想的證明綱領後，便將題目交給了他的學生和朋友，一方麵他認為他的猜想雖然重要，但與他證明的卡拉比猜想相比還是有很大的距離，另一方麵他認為弦理論引發的數學問題要比他自己的猜想更具挑戰性，也有更大的潛力。事實上，他和他的學生與博士後在Calabi-Yau流形上的工作已經在近代數學中開創了一個新的重要研究方向。至於丘成桐猜想證明的正確性和其在幾何學中的前景，隻有他這個開創者和專家才有資格來評判了。