第353章 高斯-博內-陳定理

  1827年，高斯證明了這一定理.

  1944年，博內將這一定理推廣到一般曲麵上，由任一閉曲線C圍成的單連通區域，形成了著名的高斯-博內公式.

  1944年，陳省身給出了高斯-博內公式的內藴證明.

  歐拉數雖然神秘有趣，可還是引不起數學家們的強烈興趣，原因是它太簡單了，小學生都可以很快弄懂這些數的來源，那個時代的數學家們總是希望有個積分，微分什麽的，以顯示其高深莫測，高斯那時候正在研究曲麵和曲線的幾何學，對於各種曲率玩得和吃飯喝水似的，這個時候人們還沒有意識到彎曲可以是幾何的內蘊性質，而一般考慮嵌入曲率，第一個認識到彎曲可以不需要嵌入的人是黎曼.

  某天，對於沒有邊界的二維曲麵，高斯搞了一個曲率做了一個積分，他發現，他能夠計算出歐拉數!很快他把這個公式推廣到帶邊界(二維麵上有洞的情形)的二維曲麵，同樣得到了相應的歐拉數.

  高斯當時應該是沒有認識到這個公式的巨大作用，以至於他懶得去發表這樣的結果，他認為這種工作對他而言太簡單了，隻和弟子們稍微討論了一下，然後，就轉去研究別的東西去了，可見這些宗師級的人物也有走眼的時候，幾年以後，博內得到了同樣的結果.

  令人興奮的是，我們導出黎曼曲率的途徑，還能夠讓我們一瞥高斯-博內公式的風采，真正體驗一番研究內蘊幾何的味道.

  高斯-博內公式是大範圍微分幾何學的一個經典的公式，它建立了空間的局部性質和整體性質之間的聯係，而我們從一條幾何的路徑出發，結合一些矩陣變換和數學分析的內容，逐步導出了測地線、協變導數、曲率張量，現在還可以得到經典的高斯-博內公式，可見我們在這條路上已經走得足夠遠了，雖然過程不盡善盡美，然而，並沒有脫離這個係列的核心:幾何直觀.

  在曲麵上的形狀：角差變量=曲率K上的麵積大小的積分。


  變化量則表示為麵積分。這就是微分幾何中的高斯-博內公式的主要內容，即角差等於高斯曲率的麵積分，諸如球麵三角形的內角和等內容都與它有關，它是整體微分幾何的開山之作之一