第289章 希爾伯特矩陣

  隨後在愛因斯坦的廣義相對論中，沒有絕對的時間和空間，守恒定律變得更難以理解。正是這種複雜性首先將諾特帶到了這個話題上。


  1915年，作為一個全新的引力理論，廣義相對論將引力描述為物質彎曲時空的結果。除了愛因斯坦外，德國哥廷根大學的數學家希爾伯特和克萊因都沉浸在新理論的奇妙世界中。希爾伯特與愛因斯坦競爭，希望發展出這個複雜理論背後的數學。


  但希爾伯特和克萊因卻遇到了一個難題。他們在試圖用廣義相對論的框架寫一個能量守恒的方程時，遇到了一個無謂的重複：就好比寫“0”等於“0”一樣，這個方程沒有物理意義。這個發現令他們感到驚訝，在這之前並沒有一個被接受的理論有這樣的能量守恒定律。他們想要弄明白為什麽廣義相對論會有如此奇異的特征。


  這個時候，他們邀請諾特加入哥廷根，以幫助他們揭開謎題。


  諾特發現，這些看似奇怪的守恒定律是一種被稱為“廣義協變”的特定類型的理論所固有的。在這樣的理論中，無論你是穩步前進還是瘋狂加速，與理論相關的方程都是成立的，因為理論方程的兩邊都是同步變化的。其結果是，廣義協變理論——包括廣義相對論——總是會有這些非傳統的守恒定律。這一發現被稱為諾特第二定律。


  在她證明第二個定理的過程中，諾特證明了她的第一個定理是關於對稱性和守恒定律之間的聯係。1918年7月26日，這兩個結果被發表在 G?ttinger Nachri 上。


  在諾特去世後，諾特定律繼續閃耀著光芒，尤其是在粒子物理學中。要梳理出基本粒子世界發生的神秘事情是非常困難的。ilczek說：“我們必須依靠理論洞察力、美學和對稱性的概念來猜測事物可能是如何運作的。”諾特定理帶來了很大的幫助。


  在粒子物理學中，相關的對稱性是被稱為“規範對稱”的隱藏類型。物理學家在電磁學中發現了這種對稱性，它導致了電荷守恒。


  規範對稱出現在電壓的定義中。電壓是兩點之間的電勢差異。電勢本身的實際值並不重要，重要的是差值。這在電勢上創造了一種對稱性：它的整體值可以在不影響電壓的情況下改變。這一特性解釋了為什麽鳥站在電線上不會觸電，但如果它同時接觸到兩根電勢不同的電線，那麽，悲劇將立即降臨在鳥的身上。


  在上個世紀60和70年代，物理學家擴展了這一概念，發現了與守恒定律相關的、其它隱藏的對稱性來發展粒子物理學的標準模型。


  在發現守恒定律的任何地方，物理學家都在尋找對稱性，反之亦然。這個標準模型解釋了大量的基本粒子以及它們之間的相互作用。許多物理學家都認為標準模型是有史以來最成功的科學理論之一，因為它能夠精確地預測實驗結果。然而，標準模型並不完美，還有許多問題是它無法解釋的。


  一直以來，物理學家的目標便是構建一個統一理論，用幾個方程就可以描述萬物，盡管這已經被證明是非常困難的。這些統一理論是建立在基本對稱的假設上。什麽樣的對稱性能夠統一基本力中的電弱力（電磁力和弱核力的統一）和強核力，物理學家還不知道。但是尋找這樣的一個“大統一理論”是物理學中一個活躍的領域。


  一個好的大統一理論能夠預言宇宙中的質子和中子從何而來。質子和中子這兩種粒子被稱為重子，重子的總數應該是守恒的。在實驗上，科學家尋找的是質子是否會發生衰變。如果我們觀測到質子衰變，那麽我們就會知道重子數是否真的守恒，這是大統一理論的關鍵線索。


  但是，當我們尋找超越標準模型的理論時，物理學家發現了一種隱藏的對稱，稱為超對稱，這是許多大統一理論的核心。超對稱是建立在統一兩組主要的基本粒子的基礎上：費米子（比如電子和誇克）和玻色子（比如光子和希格斯玻色子）。它假設所有的費米子都有一個玻色子夥伴，反之亦然。


  對稱性是標準模型的基礎。圖中圓圈部分代表了標準模型中的粒子，比如光子和電子。外圍則是超對稱理論提出的假想粒子。


  超對稱優美地解決了許多標準模型無法解決的問題，因此大型強子對撞機（LHC）的首要任務便是尋找超對稱的跡象。但到目前為止，科學家還未發現這樣的粒子，盡管人們對探測寄予厚望，一些物理學家開始質疑超對稱的正確性。也許對稱性隻能讓物理學家走到這一步。


  這一觀點讓一些物理學家左右為難。如果這不是一直以來的指導原則——即越對稱越好——那麽指導原則究竟是什麽？

  盡管這個局麵令人沮喪，但對稱性在物理學上仍然保持其光芒。諾特定理是發展量子引力的潛在理論的必要工具。量子引力理論把兩種截然不同的理論——廣義相對論和量子力學——結合在一起。諾特的工作幫助科學家理解在這樣一個統一的理論中可以出現怎樣的對稱性。


  在眾多理論中，有一個候選者依賴於兩種互補理論間的聯係：二維表麵的量子理論可以作為三維彎曲時空中量子引力理論的全息投影。這意味著，三維宇宙中包含的信息，可以編碼到環繞它的二維表麵上。


  試想一下，一瓶汽水罐的標簽上描述了罐中每個氣泡的大小和位置，並列出了這些氣泡是如何合並和破裂的。一個好奇的研究人員可以利用罐子表麵的行為來了解罐子內部的情況，例如計算搖晃罐子時可能發生的事情。對於物理學家來說，理解一個更簡單的二維理論可以幫助他們理解發生在三維物體內部更複雜的情況。（這種全息原理（holographic principle）適用的量子引力理論被稱為弦理論，在弦理論中，粒子是通過振動的弦來描述的。）

  在一個描述粒子二維空間行為的理論可以作為三維量子引力的全息圖。這就像僅僅通過閱讀標簽就能研究汽水罐裏麵的氣泡一樣。


  物理學家Daniel Harlow說：“諾特定理是這個故事中非常重要的一部分。”二維量子理論中的對稱性出現在不同背景下的三維量子引力理論中。通過一種令人滿意的轉換，諾特第一、第二定理被連接起來了：描述二維空間的第一個定理，與描述三維空間的第二個定理有著同樣的表述。這就好比有兩個句子，一句是中文，一句是英文，在翻譯的時候意識到它們用不同的方式表達了同一件事。


  諾特的工作徹底改變了我們理解宇宙的方式。當你下次閱讀到關於宇宙暴脹理論、超對稱粒子、或者一切跟萬有理論相關的進展時，都應該想到艾米·諾特，她的定理是所有這些理論的核心概念。