第269章 玻爾茲曼常數

  在1900年8月巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發的相信每個數學問題都可以解決的信念，對於數學工作者是一種巨大的鼓舞。


  希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數學基礎問題；第7到第12問題是數論問題；第13到第18問題屬於代數和幾何問題；第19到第23問題屬於數學分析。


  （1）康托的連續統基數問題。1874年，康托猜測在可數集基數和實數集基數之間沒有別的基數，即著名的連續統假設。1938年，僑居美國的奧地利數理邏輯學家哥德爾證明連續統假設與ZF集合論公理係統的無矛盾性。1963年，美國數學家科恩（P.）證明連續統假設與ZF公理彼此獨立。因而，連續統假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。


  （2）算術公理係統的無矛盾性。歐氏幾何的無矛盾性可以歸結為算術公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發表不完備性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術公理係統的無矛盾性。


  （5）拓撲學成為李群的條件（拓撲群）。這一個問題簡稱連續群的解析性，即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格裏森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊賓（Zippin）共同解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結果。


  （6）對數學起重要作用的物理學的公理化。1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫將概率論公理化。後來，在量子力學、量子場論方麵取得成功。但對物理學各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。


  （7）某些數的超越性的證明。需證：如果α是代數數，β是無理數的代數數，那麽αβ一定是超越數或至少是無理數（例如，2√2和eπ）。蘇聯的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德國的施奈德（Seider）及西格爾（Siegel）1935年分別獨立地證明了其正確性。但超越數理論還遠未完成。目前，確定所給的數是否超越數，尚無統一的方法。


  （8）素數分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。素數是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素數問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數問題目前也未最終解決，其最佳結果均屬中國數學家陳景潤。


  （9）一般互反律在任意數域中的證明。1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷（E.Artin）各自給以基本解決。而類域理論至今還在發展之中。


  （10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解？求出一個整數係數方程的整數根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數學家）方程可解。1950年前後，美國數學家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費羅斯（Philos）對含兩個未知數的方程取得肯定結論。1970年。蘇聯數學家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況答案是否定的。盡管得出了否定的結果，卻產生了一係列很有價值的副產品，其中不少和計算機科學有密切聯係。


  （11）一般代數數域內的二次型論。德國數學家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結果。60年代，法國數學家魏依（A.eil）取得了新進展。


  （12）類域的構成問題。即將阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意的代數有理域上去。此問題僅有一些零星結果，離徹底解決還很遠。


  （13）一般七次代數方程以二變量連續函數之組合求解的不可能性。七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴於3個參數a、b、c；x=x(a，b，c)。這一函數能否用兩變量函數表示出來？此問題已接近解決。1957年，蘇聯數學家阿諾爾德（Arnold）證明了任一在〔0，1〕上連續的實函數f(x1，x2，x3)可寫成形式∑hi(ξi(x1，x2)，x3)(i=1——9)，這裏hi和ξi為連續實函數。柯爾莫哥洛夫證明f(x1，x2，x3)可寫成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1——7)這裏hi和ξi為連續實函數，ξij的選取可與f完全無關。1964年，維土斯金（Vituskin）推廣到連續可微情形，對解析函數情形則未解決。


  （14）某些完備函數係的有限的證明。即域K上的以x1，x2，…，xn為自變量的多項式fi（i=1，…，m），R為K〔X1，…，Xm]上的有理函數F（X1，…，Xm）構成的環，並且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]試問R是否可由有限個元素F1，…，FN的多項式生成？這個與代數不變量問題有關的問題，日本數學家永田雅宜於1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。


  （15）建立代數幾何學的基礎。荷蘭數學家範德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。注一舒伯特（Schubert）計數演算的嚴格基礎。一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，並給以嚴格基礎。現在已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學有密切的關係。但嚴格的基礎至今仍未建立。


  （16）代數曲線和曲麵的拓撲研究。此問題前半部涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。後半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環的最多個數N（n）和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式。對n=2（即二次係統）的情況，1934年福羅獻爾得到N(2)≥1；1952年鮑廷得到N(2)≥3；1955年蘇聯的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，這個曾震動一時的結果，由於其中的若幹引理被否定而成疑問。關於相對位置，中國數學家董金柱、葉彥謙1957年證明了（E2）不超過兩串。1957年，中國數學家秦元勳和蒲富金具體給出了n=2的方程具有至少3個成串極限環的實例。1978年，中國的史鬆齡在秦元勳、華羅庚的指導下，與王明淑分別舉出至少有4個極限環的具體例子。1983年，秦元勳進一步證明了二次係統最多有4個極限環，並且(!，3)分布，但證明有誤，至今二次係統的問題尚未解決。


  （17）半正定形式的平方和表示。實係數有理函數f(x1，…，xn)對任意數組（x1，…，xn）都恒大於或等於0，確定f是否都能寫成有理函數的平方和？1927年阿廷已肯定地解決。


  （18）用全等多麵體構造空間。德國數學家比貝爾巴赫（Bieberbach）1910年，萊因哈特（Reinhart）1928年作出部分解決。


  （19）正則變分問題的解是否總是解析函數？德國數學家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和蘇聯數學家彼德羅夫斯基（1939）已解決。


  （20）研究一般邊值問題。此問題進展迅速，己成為一個很大的數學分支。日前還在繼讀發展。


  （21）具有給定奇點和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。此問題屬線性常微分方程的大範圍理論。希爾伯特本人於1905年、勒爾（H.Rohrl）於1957年分別得出重要結果。1970年法國數學家德利涅（Deligne）作出了出色貢獻。


  （22）用自守函數將解析函數單值化。此問題涉及艱深的黎曼曲麵理論，1907年克伯（P.Koebe）對一個變量情形已解決而使問題的研究獲重要突破。其它方麵尚未解決。


  （23）發展變分學方法的研究。這不是一個明確的數學問題。20世紀變分法有了很大發展。