第191章 非齊次波動方程柯西問題的解

  是高斯發明的，是n趨近無窮時2F1(a，b;c;z)=Σa(n)b(n)/)*z^n/n!這樣的方程，其中的a(n)=a(a+1)……(a+n-1)這樣的階乘函數。


  在數學中，高斯超幾何函數或普通超幾何函數2F1(a，b;c;z)是一個用超幾何級數定義的函數，很多特殊函數都是它的特例或極限。


  波赫哈默爾對Kummer說：“這個函數中的z絕對值小於1 。”


  Kummer說：“這個函數能幹什麽用？”


  波赫哈默爾說：“很多函數都可以用這個方程表示。”


  波赫哈默爾然後開始寫出以下表示，作為例子。


  ln(1+z)=z2F1(1，1;2;-z)

  (1-z)^-a=2F1(a，1;1;z)

  arz=z2F1(1/2，1/2;3/2;z^2)

  Kummer說：“我剛剛找到了b求無窮大的情形，名字叫合流超幾何函數。貝塞爾柱函數也可以由此函數表示出來。”


  Kummer寫出合流超幾何函數，形式為M(a，c，z)=lim2F1(a，b;c;b^-1z)。


  波赫哈默爾滿意的點點頭。


  勒讓德函數，雅克比多項式，切比雪夫多項式，Gegenbauer多項式都能用超幾何函數表示。所有具有三個正則奇點的二階線性常微分方程的解都可以用超幾何函數表示。


  其它特殊情形還包括Krachouk多項式，Meixner多項式，Meixner–Pollaczek多項式。


  超幾何函數有Pfaff 變換和 Euler 變換，都是分式線性變換的例子，跟莫比烏斯變換有關係。


  除此以外還有廣義超幾何函數，這是超幾何函數推廣，就是這個式子關於p(n)的項變得很多了。