第165章 喬治·格林公式

  f(x+y)=f(x)+f(y)

  此方程的解稱為加性函數，在有理數定義域上，利用初等代數我們很容易得出有一組函數滿足條件，是f(x)=cx，其中c是任意實數。定義域是實數時，同樣有一族函數滿足條件，但有些是極其複雜的，所以我們需要更多的條件得到f(x)=cx，以下條件可得f(x)是正比例函數：


  ◎f是連續函數（在1821年已被柯西證明），後來在1875年被達布將條件減弱為f在某點連續。


  ◎存在a，b∈R，(a

  ◎f單調，或f在某開區間單調。


  ◎存在ε1>0，使得x∈[0，ε1]，有f(x)≥0，或者存在ε2>0，使得x∈[0，ε2]，有f(x)≤0

  另外，如果沒有其他條件的話，（假如承認選擇公理成立），那麽有無窮非f(x)=cx的函數滿足該條件，這是1905年哈默(Ge Hamel)利用哈默基的概念證明的。


  希爾伯特第五問題是該方程的推廣


  存在實數c使得f(cx)≠cf(x)解稱為柯西-哈默方程(Cauchy-Hamel )，希爾伯特第三問題中，從3-D向高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量（Dehn-Had(s)），其中就用到柯西-哈默方程。