第137章 勒讓德變換

  狄利克雷對泊鬆說：“加入一個巨大的鐵板，鐵板一個部分的溫度已經固定，那麽溫度會傳導擴散到鐵板的四麵八方。最後會穩定在一個值內，不會在發生任何改變。如何去求各個地方的溫度呢？”


  泊鬆說：“這種熱力的傳導是複合偏微分方程的，所以確定熱力的偏微分的分布情況即可。”


  狄利克雷說：“問題就有意思在這裏，這個形狀有關係。如果這個鐵片長度不同，那麽熱的分布也會不太一樣，如果鐵片較短，那麽邊緣處會稍微熱一點點，如果鐵片較遠，那麽邊緣處會相對冷一些。如果鐵片的長度為無限遠，在無限遠處會接近為最低的溫度。”


  泊鬆補充道：“接近為常溫。”


  狄利克雷說：“同時在機械工程和土木工程的梁理論中，梁的一端保持在空間中的固定位置。在靜電中，電路的節點保持固定電壓。在流體動力學中，粘性流體的防滑條件表明，在固體邊界處，流體相對於邊界具有零速度。也屬於這類問題。”


  在數學中，狄利克雷邊界條件，為常微分方程的“第一類邊界條件”，指定微分方程的解在邊界處的值。也叫本質邊界條件。求出這樣的方程的解的問題被稱為狄利克雷問題。


  狄利克雷問題亦稱第一邊值問題，是調和函數的一類重要邊值問題。


  第一類邊界條件，是指在熱力學中，第一類邊界條件的表述為：“將大平板看成一維問題處理時，平板一側溫度恒定。”


  此後，延伸出了第二類和第三類邊界條件表述。


  第二類邊界條件即諾依曼邊界條件，給出了在邊界處解對指定函數的導數或偏導數。例如，泊鬆方程中的浮動邊界條件，電勢可以浮動，電場為零。在熱力學中，第二類邊界條件的表述為：“將大平板看成一維問題處理時，平板一側熱流密度一定。”半無限大物體在導熱方向上，當其一側熱流密度一定。數學描述為：q(0，t)= 定值。


  第三類邊界條件的表述為：“將大平板看成一維問題處理時，平板一側換熱係數一定，換熱流體的溫度一定。”半無限大物體在導熱方向上，當其一側邊換熱係數一定，換熱流體的溫度一定。數學描述為：h(0，t)= 定值， tf=0。