第113章 歐拉的七橋問題

  1755年，瑞士數學家L.歐拉在寫一本叫《流體運動的一般原理》的書。


  其中在研究無粘性流體動力學時，發現了一種運動的微分方程。


  這個微分方程是指對無粘性流體微團應用牛頓第二定律得到的運動微分方程。


  歐拉敏銳的發現，這個方程還可以去解釋熱的傳導、圓膜的振動、電磁波的傳播等問題。


  長得是這樣的，ax2D2y+bxDy+cy=f(x)，類似二次方程。


  其中a、b、c是常數，這是一個二階變係數線性微分方程。它的係數具有一定的規律：二階導數D2y的係數是二次函數ax2，一階導數Dy的係數是一次函數bx，y的係數是常數。


  而且，歐拉不止步於此，還繼續發現了高次導數的推廣的形式。


  同時歐拉使用帶自然對數底的帶還，再用D表示微分符號，再用歸納法，轉化出常微分方程。


  得出的方程可以求出2次甚至高次的常微分方程通解。


  在物理學上，歐拉方程統治剛體的轉動，可以選取相對於慣量的主軸坐標為體坐標軸係，這使得計算得以簡化，因為我們如今可以將角動量的變化分成分別描述的大小變化和方向變化的部分，並進一步將慣量對角化。


  方程組各方程分別代表質量守恒（連續性）、動量守恒及能量守恒，對應零粘性及無熱傳導項的納維－斯托克斯方程。


  曆史上，隻有連續性及動量方程是由歐拉所推導的。然而，流體動力學的文獻常把全組方程——包括能量方程——稱為“歐拉方程”。跟納維－斯托克斯方程一樣，歐拉方程一般有兩種寫法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式強調物理解釋，即方程是通過一空間中某固定體積的守恒定律；而非守恒形式則強調該體積跟流體運動時的變化狀態。


  歐拉方程可被用於可壓縮性流體，同時也可被用於非壓縮性流體——這時應使用適當的狀態方程，或假設流速的散度為零。