第107章 雅克比伯努利試驗

  18世紀早期英國牛頓學派最優秀代表人物之一的英國數學家泰勒（Brook Taylor），於1685年8月18日在英格蘭德爾塞克斯郡的埃德蒙頓市出生。


  1701年，泰勒進劍橋大學的聖約翰學院學習。


  1709年後移居倫敦，獲得法學學士學位。


  1712年當選為英國皇家學會會員，同年進入促裁牛頓和萊布尼茲發明微積分優先權爭論的委員會。並於兩年後獲法學博士學位。


  從1714年起擔任皇家學會第一秘書，1718年以健康為由辭去這一職務。


  1717年，他以泰勒定理求解了數值方程。


  泰勒以微積分學中將函數展開成無窮級數的定理著稱於世。


  泰勒在無聊的玩GeoGebra，裏麵有個公式:

  Y=A0+A1x+A2x^2+A3x^3+A4x^4+A5x^5+A6x^6+A7x^7+A8x^8+A9x^9

  然後無聊的撥弄著滑動條來隨意改變這些個A值。屏幕上函數圖像不斷變化著，但那線條總是歪七八扭，不聽使喚。他認真了起來，擴大了A值的範圍和精度，逐漸找到規律之後，他已經能夠調出劍尖，牙齒，貓耳等圖像。


  他不斷增加項數，調整參數，他發現增加的項數越多，他就越能掌控圖像的變化。


  他像扭鐵絲似的上下彎折著曲線，無意中調出了一段波浪形的圖像，看著似乎挺眼熟……


  ——這不是 sin 函數嗎！

  他抑製不住自己的興奮，趕緊輸入了標準的 sin 函數進行對比，同時繼續調整多項式，使這個山寨函數盡可能地貼近正品。


  他仔細端詳著，單看眼前這一段，簡直可以以假亂真，不過越到後麵，分歧也就越明顯了。


  他猛然意識到：“我能夠控製多項式畫出任意圖像！甚至把它偽裝成其他函數！“


  但是他很快冷靜了下來，問了自己一連串的問題：所謂的任意，可以是無限製的任意嗎？我能否完美地“偽裝“出一個目標函數？如果不能，那又能夠偽裝到何種程度？擺在眼前的具體問題就是，能否“偽裝“出一個完美的 sin 函數？


  他決定一探究竟。如果存在某 n 次多項式等於 sin(x);則其導函數也等於 sin(x)的導函數；它的二階導也等於 sin(x)的二階導；它的三階導也等於 sin(x)的三階導；


  ……它的 n 階導也等於 sin(x)的 n 階導。


  可是，每求導一次，多項式就會降一階。


  求到 n 階導不就變成常數了嗎？


  再導不就歸零了嗎！


  而 sin(x)可以無窮階求導，所以無論 n 有多大，都不可能完美偽裝出 sin 函數。


  除非…… n 為無窮大？


  這就引出了下麵的問題：這樣的偽裝可以到達何種程度？

  首先，經過調整，可以使二者的起點一致；然後，可以調整使二者在該點處斜率一致；再然後，可以調整該點處的二階導數一致；再然後，可以調整該點處的三階導數一致；

  ……總之，我們總可以使該點處 n 階導數一致。


  而 n 可以無限遞增下去，我們的“偽裝“就可以無限逼近目標函數。


  ——埃勒裏·泰勒·奎因看著圖像的變化，他不禁把那個起點當成了運動的質點，斜率即質點的速度

  ……他忍不住做起了一個思想實驗：沒有其他外力，沒有初速度的條件下，質點隻能靜止在原地，毫無自由可言。


  給質點一個初速度，我們可以使質點單向勻速運動；若再給定一個加速度，我們可以使速度均勻變化，從而產生拐彎運動；若再給定加速度的變化率，我們使加速度均勻變化，速度拐彎變化，產生可轉向拐彎運動；


  ……如果一開始就設定好質點的初速度，加速度，加加速度，加加加…加速度的話，正如用一隻無形的手調控著它的命運，那麽無論想讓它何時拐，往何處拐，如何拐……就全都在初始條件的設計之中了！這一刻，他仿佛觸摸到了力量，觸摸到了真理，觸摸到了前所未有的自由！他大吼一聲：“泰勒展開！”


  這條定理大致可以敘述為：函數在一個點的鄰域內的值可以用函數在該點的值及各階導數值組成的無窮級數表示出來。然而，在半個世紀裏，數學家們並沒有認識到泰勒定理的重大價值。這一重大價值是後來由拉格朗日發現的，他把這一定理刻畫為微積分的基本定理。


  把求導數的方程，調轉一下，就可以得到牛頓迭代。這樣的一階導數、二階導數……，都可以無限帶入進去。


  牛頓迭代可以讓不能直接得到解的方程，無限接近於解的值，以達到近似的效果。後來泰勒將其改造成泰勒級數來確定很多函數。


  對於任意一段連續可求導的函數，都可以與x軸方向得到一個麵積的值。在古代，沒有人能對很多弧形的圖像直接求麵積的值的。但是積分就可以，因為牛頓將函數分成無數個斜率，與底邊形成了無數個體型而已，對於無數的體型無窮相加，取無限的值，就可以準確計算出這段陰影包含的麵積。


  泰勒定理的嚴格證明是在定理誕生一個世紀之後，由柯西給出的。


  泰勒定理開創了有限差分理論，使任何單變量函數都可展成冪級數；同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。


  泰勒於書中還討論了微積分對一係列物理問題之應用，其中以有關弦的橫向振動之結果尤為重要。


  他透過求解方程導出了基本頻率公式，開創了研究弦振問題之先河。


  此外，此書還包括了他於數學上之其他創造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率問題之研究等。