第77章 費馬平方和定理

  1654年，費馬和帕斯卡在夏季交換的五封信裏得出賭博和概率的規律。


  十七世紀歐洲的貴族盛行賭博之風，法國有一位叫德·梅雷的貴族，在擲骰子的遊戲之餘，也思考一點相關的數學問題，苦思不得其解。1654年，他向帕斯卡請教了一個親身經曆的“分賭注問題”。


  德·梅雷對帕斯卡說：“故事大概如此：梅雷和賭友各自出32枚金幣，共64枚金幣作為賭注，雙方以擲骰子為賭博方式：如果結果出現“6”，則梅雷贏1分；如果結果出現“4”，則對方贏1分。雙方誰先得到10分，誰就贏得全部賭注。賭博如此進行了一段時間，梅雷已得8分，對方也得了7分。但這時，梅雷接到緊急命令，要立即陪國王接見外賓，隻好中斷賭博。那麽問題就來了：這64枚金幣的賭注應該如何分配才合理呢？”


  這個問題實際上在十五、十六世紀時就已經被提出，稱之為“點數分配問題”。意思是說，當一場賭博半途中斷的情況下，應該如何分配賭注？人們提出各種方案，但未曾得到公認的合理答案。


  帕斯卡一開始沒注意，隻是說：“賭注的問題也找我，將賭注原數退回不就行了？”


  梅雷說：“將賭注原數退回顯然不合理，沒有考慮賭博中斷時的輸贏情況，相當於白賭了一場；將全部賭注歸於當時的贏家也不公平，比如當時：梅雷比對方多得一分，但他還差2分才贏，而對方差3分，如果繼續賭下去的話，對方也有贏的可能性。”


  帕斯卡本人不好賭，對於賭博人執著的要賭後結果的事情也方案。但是自己卻好奇集中數學的東西，如果一切嚴格按照賭的規矩，會是什麽結果。


  帕斯卡來了興趣，分析的說：“上述兩種方案顯然都不合理，賭博中斷時的梅雷應該多得一些，但究竟應該如何分配呢？”


  梅雷說：“有人商量我們兩人比分的比例來計算：梅雷8分，對方7分，那麽梅雷得全部賭注的8/15，對方得7/15。”


  帕斯卡說：“這種分法也有問題，比如說，如果甲乙雙方隻賭了一局就中斷了，甲贏得1分，乙得0分。按此分法，甲將拿走全部賭注，顯然也是不合理的。”


  雷梅點頭稱是。


  帕斯卡直覺地意識到，中斷賭博時賭注的分配比例應與當時的輸贏狀態與雙方約定的最終判據之距離有關。比如說，梅雷已經得了8分，距離10分的判據差2分，賭友7分，還差3分到10分。因此，帕斯卡認為需要研究從中斷賭博那個“點”開始，如果繼續賭博的各種可能性。


  為了盡快地解決這個問題，帕斯卡以通信的方式與住在法國南部的費馬討論。


  梅雷原來的問題是擲骰子賭“6點”或“4點”的問題，但可以簡化成拋硬幣的問題：甲乙兩人拋硬幣，甲賭“正”，乙賭“反”，贏家得1分，各下賭注$10，先到達10分者獲取所有賭注。如果賭博在“甲8分、乙7分”時中斷，問應該如何分配這$20賭注？


  費馬回信的分析：“從賭博的中斷點出發，還至多需要拋4次硬幣來決定甲乙最後的輸贏。”


  帕斯卡看信：“這4次隨機拋丟或產生16種等概率的可能結果，因為“甲贏”需要結果中出現2次“正”，“乙贏”需要結果中出現3次“反”，所以，在16種結果中，有11種是“甲贏”，5種是“乙贏”。換言之，如果賭博沒有中斷，而是從中斷點的狀態繼續到底的話，可以如此算出甲贏的概率是11/16，乙贏的概率是5/16。賭博的中斷使得雙方按照這種比例失去了最後贏得全部賭注的機會，但按此比例來分配賭注應該是合理的方法。所以，根據費馬的分析思路，甲方應該得$20×11/16=$13.75，乙方則得剩餘的，或$20×5/16=$6.25。”


  帕斯卡十分讚賞費馬思路之清晰，費馬所得的結果也驗證了帕斯卡自己得到的結論，雖然他用的是完全不一樣的方法。


  帕斯卡給費馬寫信也討論了自己的結果：“解決這個問題的過程中提出了離散隨機變量“期望值”的概念。期望值是用概率加權後得到的“期望”的平均值。帕斯卡計算出從甲方的觀點，“期望”能得到的賭注分配為$13.75，與費馬計算的結果一致。”


  期望是概率論中的重要概念，期望值則是概率分布的重要特征之一。它常被用在與賭博相關的計算中。例如，賭場輪盤上有38個數字，每一個數字被選中的概率都是1/38。賭注（比如$1）押在其中一個數字上，如果押中，顧客得到35倍的獎金（$35），否則賭注被賭場所得。藉此，我們可以計算顧客“贏”的期望值。


  從研究擲骰子開始，帕斯卡不僅僅引入了期望的概念，還發現了帕斯卡三角形（即楊輝三角），雖然楊輝早於帕斯卡好幾百年，但是帕斯卡將此三角形與概率、期望、二項式定理、組合公式等等聯係在一起，與費馬一起為現代概率理論奠定了基礎，對數學作出了不凡的貢獻。1657年，荷蘭科學家惠更斯在帕斯卡和費馬工作的基礎上，寫成了《論賭博中的計算》一書，被認為是關於概率論的最早的係統論著，但人們仍然將概率論的誕生日定為帕斯卡和費馬開始通信的那一天——1654年7月29日。