第51章 幻方與布陣

  它的某些概念早在古希臘時期就曾經引起一些學者的注意。


  基於繪圖學和建築學的需要，古希臘幾何學家就開始研究透視法，也就是投影和截影。


  早在公元前200年左右，阿波羅尼奧斯說：“我就曾把二次曲線作為正圓錐麵的截線來研究。”


  在4世紀帕普斯的著作中，出現了帕普斯說：“我發現了帕普斯定理。”


  歐洲文藝複興時期透視學的興起，給這門幾何學的產生和成長準備了充分的條件。


  在文藝複興時期，人們在繪畫和建築藝術方麵非常注意和大力研究如何在平麵上表現實物的圖形。那時候，人們發現，一個畫家要把一個事物畫在一塊畫布上就好比是用自己的眼睛當作投影中心，把實物的影子影射到畫布上去，然後再描繪出來。在這個過程中，被描繪下來的像中的各個元素的相對大小和位置關係，有的變化了，有的卻保持不變。這樣就促使了數學家對圖形在中心投影下的性質進行研究，因而就逐漸產生了許多過去沒有的新的概念和理論，形成了射影幾何這門學科。


  在17世紀初期，開普勒說：“我最早引進了無窮遠點概念。”


  十七世紀，當笛卡兒和費爾馬創立的解析幾何問世的時候，還有一門幾何學同時出現在人們的麵前。這門幾何學和畫圖有很密切的關係。


  迪沙格是一個自學成才的數學家，他年輕的時候當過陸軍軍官，後來鑽研工程技術，成了一名工程師和建築師，他很不讚成為理論而搞理論，決心用新的方法來證明圓錐曲線的定理。


  1639年，迪沙格說：“我出版了主要著作《試論圓錐曲線和平麵的相交所得結果的初稿》，書中他引入了許多幾何學的新概念。他的朋友笛卡爾、帕斯卡、費爾馬都很推崇他的著作，費爾馬甚至認為他是圓錐曲線理論的真正奠基人。”


  迪沙格說：“在我的著作中，把直線看作是具有無窮大半徑的圓，而曲線的切線被看作是割線的極限，這些概念都是射影幾何學的基礎。用我的名字命名的迪沙格定理，“如果兩個三角形對應頂點連線共點，那麽對應邊的交點共線，反之也成立”，就是射影幾何的基本定理。”


  1641年，帕斯卡說：“我發現了一條定理，就是內接於二次曲線的六邊形的三雙對邊的交點共線。”


  這條定理叫做帕斯卡六邊形定理，也是射影幾何學中的一條重要定理。


  1648年，亞伯拉罕?博斯出版了一本著作，其中包含了著名的“笛沙格定理”：當兩個三角形是透視時，則其對應邊的交點共線。


  1658年，帕斯卡寫了《圓錐曲線論》一書，書中很多定理都是射影幾何方麵的內容。迪沙格和他是朋友，曾經敦促他搞透視學方麵的研究，並且建議他要把圓錐曲線的許多性質簡化成少數幾個基本命題作為目標。帕斯卡接受了這些建議。後來他寫了許多有關射影幾何方麵的小冊子。


  不過迪沙格和帕斯卡的這些定理，隻涉及關聯性質而不涉及度量性質(長度、角度、麵積)。但他們在證明中卻用到了長度概念，而不是用嚴格的射影方法，他們也沒有意識到，自己的研究方向會導致產生一個新的幾何體係射影幾何。他們所用的是綜合法，隨著解析幾何和微積分的創立，綜合法讓位於解析法，射影幾何的探討也中斷了。


  射影幾何的主要奠基人是19世紀的彭賽列。他是畫法幾何的創始人蒙日的學生。蒙日帶動了他的許多學生用綜合法研究幾何。


  由於迪沙格和帕斯卡等的工作被長期忽視了，前人的許多工作他們不了解，不得不重新再做。


  施泰納說：“我研究了利用簡單圖形產生較複雜圖形的方法，線素二次曲線概念也是我引進的。


  施陶特說：“我為了擺脫坐標係對度量概念的依賴，我通過幾何作圖來建立直線上的點坐標係，進而使交比也不依賴於長度概念。由於忽視了連續公理的必要性，我建立坐標係的做法還不完善，但卻邁出了決定性的一步。”


  另—方麵，運用解析法來研究射影幾何也有長足進展。


  莫比烏斯說：“我創建一種齊次坐標係，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類型，給出線束中四條線交比的度量公式等。”


  接著，普呂克說：“我引進丁另一種齊次坐標係，得到了平麵上無窮遠線的方程，無窮遠圓點的坐標。我還引進了線坐標概念，於是從代數觀點就自然得到了對偶原理，並得到了關於一般線素曲線的一些概念。”


  在19世紀前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭論異常激烈；有些數學家完全否定綜合法，認為它沒有前途，而一些幾何學家，如沙勒，施圖迪和施泰納等，則堅持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然承認綜合法有其局限性，在研究過程中也難免借助於代數，但在著作中總是用綜合法來論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個優美的體係，而且用綜合法也確實形象鮮明，有些問題論證

  882年帕施說：“我建成第一個嚴格的射影幾何演繹體係。”


  射影幾何學的發展和其他數學分支的發展有密切的關係，特別是“群”的概念產生以後，也被引進了射影幾何學，對這門幾何學的研究起了促進作用。


  克萊因說：“把各種幾何和變換群相聯係。”


  克萊因說：“我在埃爾朗根綱領中提出了這個觀點，並把幾種經典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關係變得十分明朗。”


  這個綱領產生了巨大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個分類法。後來嘉當等在拓廣幾何分類的方法中作出了新的貢獻。