第16章 正多麵體的個數隻有五個

  歐幾裏得學生卡農對歐幾裏得說：“如果可以可靠的求出兩個數字的最大公約數？”


  歐幾裏得說：“用輾轉相除法就可以，如果求a和b的最大公約數，如果a大於b，那就是a除以b，然後得到餘數，然後再讓除數b除以餘數，然後一直讓除數除以餘數，最後餘數為0的時候，得到的除數就是a和b的最大公約數。”


  卡農說：“假如說1997和615這兩個數字。”


  歐幾裏得說：“1997除以615，等於3餘出152。”


  卡農說：“然後怎麽求？”


  歐幾裏得說：“除數除以餘數，615除以152等於4餘7.”


  卡農說：“然後152除以7等於21餘5.”


  歐幾裏得接著說：“沒錯，然後7除以5，等於1餘2.”


  卡農說：“5除以2，等於2餘1.”


  歐幾裏得說：“2除以1，等於2餘0.”


  卡農說：“不能再往下了，餘數已經為0，所以1997和615的最大公約數為1.”


  歐幾裏得說：“所以說，相當於沒有最大公約數。”


  在以上基礎上，後來數學中發展了環的概念，整環R是符合一下接個要求的：


  1、A 關於加法成為一個 Abel 群（其零元素記作 0）；

  2、乘法滿足結合律：(a * b)* c = a *(b * c)；


  3、乘法對加法滿足分配律：a *(b + c)= a * b + a * c，(a + b)* c = a * c + b * c；


  如果環 A 還滿足以下乘法交換律，則稱為“交換環”：

  4、乘法交換律：a * b = b * a。


  如果交換環 A 還滿足以下兩條件，就稱為“整環”（integral domain）：

  5、A 中存在非零的乘法單位元，即存在 A 中的一個元素，記作 1，滿足：1 不等於 0，且對任意 a，有：e* a = a * e= a；


  6、ab=0 => a=0 或 b=0。


  而後來也引入了歐幾裏得整環的概念，這是抽象代數中，這是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾裏得整環必為主理想環。