第26章 這是什麼鬼節奏
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這些東西你們看得懂么，反正我是看不懂的(⊙o⊙)…
微積分的基本公式共有四大公式:1.牛頓-萊布尼茨公式，又稱為微積分基本公式2.格林公式，把封閉的曲線積分化為區域內的二重積分，它是平面向量場散度的二重積分3.高斯公式，把曲面積分化為區域內的三重積分，它是平面向量場散度的三重積分4.斯托克斯公式，與旋度有關。這四大公式構成了經典微積分學教程的骨幹。
牛頓-萊布尼茨公式
基本簡介：若函數f(x)在[a,b]上連續，且存在原函數f(x)，則f(x)在[a,b]上可積，且萊布尼茨公式，這即為牛頓-萊布尼茨公式。理解:比如路程公式:距離s=速度v*時間t，即s=v*t，那麼如果t是從時間a開始計算到時間b為止，t=b-a，而如果v不能在這個時間段內保持均速，那麼上面的這個公式(s=v*t，t=b-a)就不能和諧的得到正確結果，於是引出了定積分的概念。
公式應用：那麼如何在用積分得到上述路程公式呢
公式這個公式能表明路程s是每個不同速度時候行駛的時間和當前速度乘積的和。牛頓-萊布尼茨公式的意義就在於把不定積分與定積分聯繫了起來，也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法。下面就是該公式的證明全過程:對函數f(x)於區間[a,b]上的定積分表達為:
b∫a*f(x)dx
現在我們把積分區間的上限作為一個變數，這樣我們就定義了一個新的函數:
Φ(x)=x∫a*f(x)dx
但是這裡x出現了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數的自變數，但定積分中被積函數的自變數取一個定值是沒意義的。為了只表示積分上限的變動，我們把被積函數的自變數改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了:
Φ(x)=x∫a*f(t)dt
研究這個函數Φ(x)的性質:1、定義函數Φ(x)=x(上限)∫a(下限)f(t)dt，則Φ與格林公式和高斯公式的聯繫
'(x)=f(x)。
證明:讓函數Φ(x)獲得增量Δx，則對應的函數增量
ΔΦ=Φ(xΔx)-Φ(x)=xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
顯然，xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt
而ΔΦ=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)Δx(ξ在x與xΔx之間，可由定積分中的中值定理推得，當Δx趨向於0也就是ΔΦ趨向於0時，ξ趨向於x，f(ξ)趨向於f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)
可見這也是導數的定義,所以最後得出Φ'(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=f(b)-f(a)，f(x)是f(x)的原函數。
證明:我們已證得Φ'(x)=f(x)，故Φ(x)c=f(x)
但Φ(a)=0(積分區間變為[a,a]，故面積為0)，所以f(a)=c
於是有Φ(x)f(a)=f(x)，當x=b時，Φ(b)=f(b)-f(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=f(b)-f(a)
把t再寫成x，就變成了開頭的公式，該公式就是牛頓-萊布尼茨公式。
高階導數萊布尼茲公式
(uv)^(n)=∑(n，k=0)c(k,n)*u^(n-k)*v^(k)
注:c(k,n)=n!/(k!(n-k)!)^代表後面括弧及其中內容為上標，求xx階導數
格林公式
基本介紹：在平面區域上的二重積分也可以通過沿區域的邊界曲線上的曲線積分來表示。
詳細介紹
摺疊單連通區域的概念：設d為平面區域,如果d內任一閉曲線所圍的部分區域都屬於d,則d稱為平面單連通區域;否則稱為復連通區域。通俗地講,單連通區域是不含」洞」(包括」點洞」)與」裂縫」的區域。
摺疊區域的邊界曲線的正向規定：設是平面區域的邊界曲線,規定的正向為:當觀察者沿的這個方向行走時,平面區域(也就是上面的d)內位於他附近的那一部分總在他的左邊。簡言之:區域的邊界曲線的正嚮應符合條件:人沿曲線走,區域在左邊，人走的方向就是曲線的正向。
摺疊格林公式：【定理】設閉區域由分段光滑的曲線圍成,函數及在上具有一階連續偏導數,則有
(1)∮cp(x,y)dxq(x,y)dy=∫∫d(dq/dx-dp/dy)dxdy
其中是的取正向的邊界曲線.
公式(1)叫做格林公式.
【證明】先證：假定區域的形狀如下(用平行於軸的直線穿過區域,與區域邊界曲線的交點至多兩點)
易見,圖二所表示的區域是圖一所表示的區域的一種特殊情況,我們僅對圖一所表示的區域給予證明即可.
另一方面,據對坐標的曲線積分性質與計演算法有
因此
再假定穿過區域內部且平行於軸的直線與的的邊界曲線的交點至多是兩點,用類似的方法可證
綜合有當區域的邊界曲線與穿過內部且平行於坐標軸(軸或軸)的任何直線的交點至多是兩點時,我,同時成立.將兩式合併之後即得格林公式
注:若區域不滿足以上條件,即穿過區域內部且平行於坐標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時,可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區域,使得每個部分區域適合上述條件,仍可證明格林公式成立.格林公式溝通了二重積分與對坐標的曲線積分之間的聯繫,因此其應用十分地廣泛.
相關介紹：對坐標的曲線積分與路徑無關的定義
【定義一】設是一個開區域,函數,在內具有一階連續偏導數,如果對於內任意兩點,以及內從點到點的任意兩條曲線,,等式恆成立,就稱曲線積分在內與路徑無關;否則,稱與路徑有關.定義一還可換成下列等價的說法若曲線積分與路徑無關,那麼即:在區域內由所構成的閉合曲線上曲線積分為零.反過來,如果在區域內沿任意閉曲線的曲線積分為零,也可方便地導出在內的曲線積分與路徑無關.
【定義二】曲線積分在內與路徑無關是指,對於內任意一條閉曲線,恆有
摺疊曲線積分與路徑無關的條件
【定理】設開區域是一個單連通域,函數,在內具有一階連續偏導數,則在內曲線積分與路徑無關的充分必要條件是等式在內恆成立.證明:先證充分性在內任取一條閉曲線,因單連通,故閉曲線所圍成的區域全部在內.從而在上恆成立.由格林公式,有依定義二,在內曲線積分與路徑無關.再證必要性(採用反證法)假設在內等式不恆成立,那麼內至少存在一點,使不妨設由於在內連續,在內存在一個以為圓心,半徑充分小的圓域,使得在上恆有由格林公式及二重積分性質有這裡是的正向邊界曲線,是的面積.這與內任意閉曲線上的曲線積分為零的條件相矛盾.故在內等式應恆成立.註明:定理所需要的兩個條件缺一不可.【反例】討論,其中是包圍原點的一條分段光滑曲線且正向是逆時針的.這裡除去原點外,在所圍成的區域內存在,連續,且.在內,作一半徑充分小的圓周在由與所圍成的復連通域內使用格林公式有
高斯公式
高斯定理，靜電場的基本方程之一，它給出了電場強度在任意封閉曲面上的面積分和包圍在封閉曲面內的總電量之間的關係。
高斯定理定義：通過任意閉合曲面的電通量等於該閉合曲面所包圍的所有電荷量的代數和與電常數之比。應用學科：電力（一級學科）；通論（二級學科）
摺疊高斯定理:矢量分析的重要定理之一。穿過一封閉曲面的電通量與封閉曲面所包圍的電荷量成正比。換一種說法：電場強度在一封閉曲面上的面積分與封閉曲面所包圍的電荷量成正比由於磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進入一個閉合曲面的磁力線必定會從曲面內部出來，否則這條磁力線就不會閉合起來了。如果對於一個閉合曲面，定義向外為□□線的指向，則進入曲面的磁通量為負，出來的磁通量為正，那麼就可以得到通過一個閉合曲面的總磁通量為0。這個規律類似於電場中的高斯定理，因此也稱為高斯定理
電場強度e在任意麵積上的面積分
稱為電場強度對該面積的通量。根據庫侖定律可以證明電場強度對任意封閉曲面的通量正比於該封閉曲面內電荷的代數和，(1)
這就是高斯定理。它表示，電場強度對任意封閉曲面的通量只取決於該封閉曲面內電荷的代數和，與曲面內電荷的分佈情況無關，與封閉曲面外的電荷亦無關。在真空的情況下,Σq是包圍在封閉曲面內的自由電荷的代數和。