第229章 說著複合泰勒裂開的馬飛也覺得考研專家被武神迪斯是學習時的歡樂源泉
2020年8月16日。
??下午一點了，睡一會兒開始學習。
??……
??兩三點開始。
??例1①∫1/(x2-x-2)dx；②∫1/(x2+2x+2)dx.
??解：①原式=∫1/[(x+1)(x-2)]
??=1/3∫1/(x-2)-1/(x+1)dx
??=1/31/(x-2)d(x-2)-1/3∫1/(x+1)d(x+1)
??=1/3ln|x-2|-1/3ln|x+1|+C
??=1/3ln|(x-2)/(x+1)|+C
??②原式=∫1/[1+(x+1)2]d(x+1)
??=arctan(x+1)+C
??例2∫x/(x2+3)dx.
??解：原式=1/2∫1/(x2+3)d(x2+3)
??=1/2ln(x2+3)+C
??例3∫sinx^?/x^?dx
??解：∵(x^?)"=1/(2x^?)
??∴原式=2∫sinx^?/(2x^?)dx
??=2∫sinx^?dx^?
??=-sx^?+C
??完善一部分公式公式積累
??不定積分公式
??已知的：
??1.常數不定積分∫kdx=kx+C；
??2.冪函數不定積分
??①a≠-1時，∫x^adx=[1/(a+1)]a^(a+1)+C；
??②a=-1時，∫1/xdx=ln|x|+C
??3.指數函數不定積分
??①∫a^xdx=a^x/lna+C
??②a=e時，∫e^xdx=e^x+C
??4.對數函數……對數沒有
??5.三角函數不定積分部分
??①∫sinxdx=sx+C
??②sxdx=sinx+C
??③∫tanxdx=-lnsx|+C
??④txdx=ln|sinx|+C
??⑤∫cscxdx=ln|tan(x/2)|+C=ln|cscxtx|+C
??⑥∫secxdx=ln|secx+tanx|+C
??⑦∫sec2xdx=tanx+C
??⑧∫csc2xdx=tx+C
??⑨∫secxtanxdx=secx+C
??⑩∫csctxdx=-cscx+C
??例4∫cscxdx.
??解：原式=∫[1/sinx]dx
??=∫[1/2sin(x/2s(x/2)]dx
??=∫[1/tan(x/2s2(x/2)]d(x/2)
??=∫[sec2(x/2)/tan(x/2)]d(x/2)
??令t=x/2，
??=∫[sec2t/tant]dt
??=∫[1/tant]d(tant)
??=ln|tant|+C
??=ln|tan(x/2)|+C
??∵tan(x/2)=sin(x/2)s(x/2)
??=2sin2(x/2)/2sin(x/2s(x/2)
??=(1sx)/sinx
??=cscxtx
??∴∫cscxdx=ln|tan(x/2)|+C=ln|cscxtx|+C
??例5∫secxdx.
??解：原式=∫1sxdx
??=∫1/sin(x+π/2)d(x+π/2)
??=∫csc(x+π/2)d(x+π/2)
??=ln|csc(x+π/2)t(x+π/2)|+C
??=ln|secx+tanx|+C
??現在三角函數解決。然後來適當解決部分接下來的基本初等函數的不定積分。
??5.平方和、平方差公式
??①∫1/(1-x2)^?dx=arcsinx+C
??②∫1/(a2-x2)^?dx=arcsin(x/a)+C，（a＞0）
??③∫1/(1+x2)dx=arctanx+C
??④∫1/(a2+x2)dx=(1/a)arctan(x/a)+C
??……
??⑤∫1/(x2-a2)dx=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+C
??⑥⑦⑧？
??……
??現在來看真正的例題。
??例6∫(1-1/x2)e^(x+1/x)dx.
??解：原式=∫e^(x+1/x)d(x+1/x)
??=e^(x+1/x)+C.
??例7∫{1/[x^?（4+x）]}dx
??本子
??例8①②本
??例9本
??所以換元積分法的思想就是找一部分放到d後麵，就是找到一部分的原函數，然後前後都有這一部分，然後就可以換元進行再找原函數，再把元換回來。當然熟練的話就可以不換元直接看出來。
??下麵看第二類換元積分法。
??……
??害天氣好悶熱。有點受不了。
??沒看視頻了，在整理數學文檔。教材、輔導講義、習題、解析、真題。今天不想看了，4.2.2、4.3、4.4三個視頻給明天吧，然後明天結束第四章，然後第五章開個頭。
??……
??馬達我還是忍不住開了雲盤的svip，開會員後下的是真的正常了好多。原來它能做到啊。艸。
??……
??晚餐藕片、白菜、西紅柿炒雞蛋、冬瓜。
??……
??2020年8月17日。有雨。
??午餐是黃魚湯、白菜、土豆五花肉。
??……
??主要想下文檔和視頻。然後下午晴空霹靂，雷鳴不止。然後也有雨了。我到前麵的房間坐著，看窗外門前的樹??隨風搖曳。
??雨點打在窗上，像是冰雹突突突。
??快捷方式很好用，我並不想改變文件位置，但又要最近經常訪問，創建文件或文件夾的快捷方式然後將其放到該盤根目錄，對於我來說就相當方便了。其效果如同應用的桌麵快捷方式。但桌麵放東西太多影響係統性能，對於我來說是不能容忍的。
??我這種玩英雄聯盟都要使用低畫質、低配機器自適應還每次在任務管理器裏更改進程優先級的謹小慎微選手，桌麵當然隻有一個孤零零的回收站。左下角是win、搜索、文件管理、微軟Edge，右邊是^的電池、wlan、輸入法中英標識、輸入法、日期。嗯，相當舒服。桌麵自然是純色——黑。耗能低、不刺眼，優化性能。
??昨天休息日稍微減輕了今天的負擔，所以到下午兩點我也沒著急開始看視頻。昨晚稍微看了一眼660題，果真把我這個0基礎都沒看完的家夥整碎了。所以我決定看完0基礎進行基礎班的時候再做題。現在簡直做題就感覺自己是個傻逼。看視頻的時候知識點都懂，一做題秒變大鼻子露珠，服氣氣。
??用焦少的話來說，就是“我服你媽媽個氣”。又被群內霸淩了，淦！馬濤真是會整人得很，連帶著馬負乘也變成了帶陰陽人。
??換元積分法（二），第二類換元積分法。
??回顧第一類換元積分法，∫f[φ(x)]φ"(x)dx=∫f[φ(x)]dφ(x)令φ(x)=t，
??=∫f(t)dt=F(t)+C=F[φ(x)]+C
??應用十分廣泛。
??第二類換元積分法
??第一類有兩種情形可能解決不了。case1，無理函數。就是被積裏麵有根號。接下來通過例題來直觀感受。
??例1∫dx/[x(1-x)]^?
??這個第一類也能解決
??解：本子上寫。
??例2∫{x2/[x3+1]^?}dx本
??例3本
??例4第一類解決不了。解決不了。
??Th2，x=ψ(t)可導且ψ(t)≠0.
??∫f(x)dx
??=∫f[ψ(t)]ψ"(t)dt
??=∫g(t)dt=G(t)+C
??=G[ψ?1(x)]+C
??例5本。開六次方。上寫同除t2，恒等變換。立方和公式。
??立方和公式
??a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
??立方差公式
??a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
??Case2：不定積分平方和差不定積分平方和不定積分平方差
??①(a2-x2)^?，用x=asint，原式=st，
??②(a2+x2)^?，用x=atant，原式=asect，
??③(x2-a2)^?，用x=asec2t，原式=atant，
??例1∫dx/(a2+x2)^?，公式
??∴∫dx/(a2+x2)^?=ln[x+(a2+x2)^?]+C
??例2∫dx/(x2-a2)^?，公式
??∴∫dx/(x2-a2)^?=ln|x+(x2-a2)^?|+C
??例3∫dx/(a2-x2)^?，公式
??∴∫dx/(a2-x2)^?=(a2/2)arcsin(x/a)+(1/2)x(a2-x2)^?+C
??停一下，總結公式。
??索引標識符不定積分基本公式-全
??1.常數不定積分∫kdx=kx+C；
??2.冪函數不定積分
??①a≠-1時，∫x^adx=[1/(a+1)]a^(a+1)+C；
??②a=-1時，∫1/xdx=ln|x|+C
??3.指數函數不定積分
??①∫a^xdx=a^x/lna+C
??②a=e時，∫e^xdx=e^x+C
??4.對數函數無
??5.三角函數不定積分
??①∫sinxdx=sx+C
??②sxdx=sinx+C
??③∫tanxdx=-lnsx|+C
??④txdx=ln|sinx|+C
??⑤∫secxdx=ln|secx+tanx|+C
??⑥∫cscxdx=ln|tan(x/2)|+C=ln|cscxtx|+C
??⑦∫sec2xdx=tanx+C
??⑧∫csc2xdx=tx+C
??⑨∫secxtanxdx=secx+C
??⑩∫csctxdx=-cscx+C
??6.平方和差
??①∫1/(1-x2)^?dx=arcsinx+C
??②∫1/(a2-x2)^?dx=arcsin(x/a)+C，（a＞0）
??③∫1/(1+x2)dx=arctanx+C
??④∫1/(a2+x2)dx=(1/a)arctan(x/a)+C
??⑤∫1/(x2-a2)dx=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+C
??⑥∫dx/(a2+x2)^?=ln[x+(a2+x2)^?]+C
??⑦∫dx/(x2-a2)^?=ln|x+(x2-a2)^?|+C
??⑧∫dx/(a2-x2)^?=(a2/2)arcsin(x/a)+(1/2)x(a2-x2)^?+C
??例4……
??先不著急，我感覺這些玩意兒公式我得好好記一下，每一個我都跟著推導一起看了，但是想要記住還需要一些時間。
??積分公式的話，也有個邏輯順序。
??首先是常數及基本初等函數。
??常數毫無疑問就是一次導得到的。
??然後冪函數，分情況，有個特殊的ln絕對值。
??然後是指數函數，因為求導會多lna所以除掉就行了，也有特殊，那就是e^x就是本身了。
??對數函數沒有，略。
??三角函數，六個。加上四個由三角函數導數知道的。
??然後反三角？並不是，而是平方和差公式，結果是arcsinx和arctanx及其衍生共四個，然後就是由其可以求出的第五個，然後剩下三個用第二類換元積分法得到的，共八個。
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