第221章 說著數學二十道錯五道的馬濤吐槽誰有那個構思能力中值定理啊

  2020年8月12日。


  ??好了來看例2。


  ??例2y=lntan(x2+e^(2x)).求y"

  ??這個地方也可以寫成y"

  ??解：(dy/dx)

  ??={1/[tan(x2+e^(2x))]}×sec2(x2+e^(2x))×(2x+2e^(2x))

  ??第一個部分lnx求導就是1/x

  ??乘第二個部分求導tanx求導sec2x

  ??乘第三個部分求導多項式求導各自求導就行了


  ??好了寫起來很簡單，做的時候要注意。跟著做當然覺得簡單，自己做就各種錯，還是要先細心耐心才行。


  ??來看一下下一個例子。


  ??例3y=e^[sin(x+1/x)]，求y"

  ??解：在本子上寫了，簡單，略。


  ??例4y=arctan2[(1-x)/(1+x)]，求y"

  ??y"

  ??=2arctan[(1-x)/(1+x)]×1/{1+[(1-x)/(1+x)]2}×(-2)/(1+x)2

  ??=2arctan[(1-x)/(1+x)]×{(1+x)2/[(1+x)2+(1-x)2]}×(-2)/(1+x)2

  ??=-4arctan[(1-x)/(1+x)]×1/(1+x2)

  ??這裏湯老師應該是-2忘了。


  ??另外

  ??(x^n)"證明了，而(x^a)"沒有證明。其中n是正整數，a是任意實數。


  ??(x^a)"計算可以換作[e^(alnx)]"=[e^(alnx)]×a×(1/x)=ax^(a-1)，這樣就舒服了

  ??所以再用複合函數求導法則再來證明（計算）前麵的公式就簡單了

  ??㈠常數及基本初等函數求導基本公式

  ??1.（C)"=0

  ??2.(x^a)"=ax^(a-1)

  ??3.(a^x)"=(a^x)lna

  ??(e^x)"=e^x

  ??4.(loga^x)"=1/[xlna]

  ??(lnx)"=1/x

  ??5.①(sinx)"sx

  ??②sx)"=-sinx

  ??③(tanx)"=sec2x

  ??④tx)"=-csc2x

  ??⑤(secx)"=secx·tanx

  ??⑥(cscx)"=-cscxtx.

  ??6.①(arcsinx)"=1/[1-x2]^?（-1＜x＜1）


  ??②(arsx)"=-1/[1-x2]^?（-1＜x＜1）


  ??③(arctanx)"=1/[1+x2]（-∞＜x＜+∞）

  ??④(artx)"=-1/[1+x2]（-∞＜x＜+∞）

  ??㈡四則運算求導法則


  ??1.u(x)±v(x)]"=u"(x)±v"(x)

  ??2.[u(x)v(x)]"=u"(x)v(x)+u(x)v"(x)

  ??3.設v(x)≠0，


  ??則[u(x)/v(x)]"=[u"(x)v(x)-u(x)v"(x)]/v2(x)

  ??㈢複合運算求導法則——鏈式法則


  ??y=f(u)可導，u=φ(x)可導且φ"(x)≠0，


  ??則y=f[φ(x)]可導且


  ??(dy/dx)=(dy/du)·(du/dx)=f"(u)·φ"(x)=f"[φ(x)]·φ"(x).

  ??好，2.2求導法則到這裏結束。


  ??接下來是2.3高階導數

  ??內容較少也很簡單。


  ??……


  ??這裏我先順便把中學三角公式寫一下。


  ??三角函數相關公式

  ??1.三角函數

  ??sinxsx、tanxtx、secx、cscx

  ??2.同角三角函數基本關係式


  ??①導數關係：

  ??sinα·cscα=1sα·secα=1，tanαtα=1.

  ??②商數關係：

  ??tanα=sinαsαtαsα/sinα.

  ??③平方關係：

  ??sin2αs2α=1，1+tan2α=sec2α，1t2α=csc2α.

  ??3.誘導公式

  ??略


  ??4.和角公式、差角公式


  ??sin(α+β)=sinsβsαsinβ，


  ??sin(α-β)=sinsβsαsinβ，


  ?&emsps(α+β)ssβ-sinαsinβ，


  ?&emsps(α-β)ssβ+sinαsinβ，


  ??tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，


  ??tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ).

  ??5.二倍角公式

  ??sin2α=2sinsα，


  ?&emsps2αs2α-sin2α=s2α-1=1-2sin2α

  ??tan2α=2tanα/(1-tan2α)

  ??6.萬能公式

  ??sin2α=2tanα/1+tan2α，


  ?&emsps2α=(1-tan2α)/(1+tan2α)，


  ??tan2α=2tanα/(1-tan2α)

  ??也就是說，單角的三角函數都可以用半角的正切來表示。不過高數好像用的並不多。


  ??7.和差化積公式

  ??sinα+sinβ=2sin((α+β)/2s((α-β)/2)，


  ??sinα-sinβ=s((α+β)/2)sin((α-β)/2)，


  ?&emspsαsβ=s((α+β)/2s((α-β)/2)，


  ?&emspsαsβ=-2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)，


  ??8.積化和差公式

  ??sinsβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]，


  ?&emspsαsinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]，


  ?&emspssβ=(1/2)s(α+β)s(α-β)]，


  ??sinαsinβ=-(1/2)s(α+β)s(α-β)].

  ??9.輔助角公式


  ??asinx+sx=(a2+b2)^?sin(x+φ)

  ??角φ的終邊所在的象限與點（a，b）所在的象限相同，並且有

  ??sinφ=b/(a2+b2)^?sφ=a/(a2+b2)^?，


  ??tanφ=b/a.

  ??感覺夢回高三啊。或者夢回初三？

  ??不過用的都不多感覺，但是一用到的話就混混沌沌的。


  ??繼續聽課，高階導數定義。主要看了下寫法，一個是(d/dx)F就表示F對x求一次導。還有就是一撇兩撇就是一階導二階導，"，""。


  ??(d2y/dx2)、y""、f""(x)。二階導寫法。


  ??(d3y/dx3)、y"""、f"""(x)。三階。


  ??如果四階五階呢？

  ??f(?)(x)四階，右上角括號裏麵加數字表示高階導數。


  ??二階及以上的導數稱高階導數。


  ??例1略


  ??例2y=e^(3x)，求y的10階導數


  ??3^(10)·e^(3x)

  ??方法一：歸納法

  ??例1

  ??y=sinx，求y的n階導數


  ??解：y"sx=sin(x+π/2)

  ??y""=-sinx=sin(x+2π/2)

  ??y"""=sx=sin(x+3π/2)

  ??y的四階導數=sinx=sin(x+4π/2)

  ??∴y的n階導數=sin(x+nπ/2)

  ??即sinx的n階導數=sin(x+nπ/2)

  ??同sx的n階導數s(x+nπ/2)

  ??例2

  ??y=(e^x)sinx，求y的n階導數


  ??解：y"=(e^x)sinx+(e^xsx

  ??=(2^?)(e^x)sin(x+π/4).

  ??∴由歸納法，

  ??y的n階導數=[(2^?)^n](e^x)sin(x+nπ/4).

  ??例3y=1/(2x+1)，求y的n階導數


  ??解：y=(2x+1)?1

  ??y′=(-1)(2x+1)?2×2

  ??y″=(-1)(-2)(2x+1)?3·22

  ??y的n階導數={[(-1)^n]n!×2^n}/(2x+1)^(n+1)

  ??記


  ??①sinx的n階導數=sin(x+nπ/2)

  ??sx的n階導數s(x+nπ/2)

  ??③1/(ax+b)的n階導數={[(-1)^n]n!×a^n}/(ax+b)^(n+1)

  ??例4f(x)=1/(x2-1)，求f(x)的n階導數.

  ??解：f(x)=1/2[1/(x-1)-1/(x+1)]

  ??f(x)的n階導數


  ??=?[{[(-1)^n]n!}/(x-1)^(n+1)-{[(-1)^n]n!}/(x+1)^(n+1)]

  ??例5y=ln(3x+2).求y的n階導數，n≥1

  ??解：

  ??……


  ??晚餐，剩菜。


  ??……


  ??y′=[1/(3x+2)]×3

  ??求y的n階導數，實際上就是求y′的n-1階導數，又可以用

  ??1/(ax+b)的n階導數={[(-1)^n]n!×a^n}/(ax+b)^(n+1)來解決了。


  ??y的n階導數={[(-1)^n-1](n-1)!×3^n)}/(3x+2)^n

  ??方法二：公式法


  ??(uv)"=u"v+uv"

  ??(uv)″=u""v+2u"v"+uv""

  ??…


  ??記萊布利茲Leibniz公式

  ??(uv)的n階導數=打出來的不好看，就不寫了。


  ??例1y=x2e^x，求y的5階導數


  ??解：y的5階導數


  ??=C05(e^x)五階·x2+C15(e^x)四階·2x+C25(e^x)三階·2+C35(e^x)″·0+0+0

  ??C15，五個選1個，=5

  ??組合數公式C(n，m)=n!/((n-m)!*m!)（m≤n）


  ??5*4*3*2*1/3*2*1*2*1=10

  ??=x2e^x+10xe^x+20e^x

  ??例2y=x2sinx，求y的6階導數


  ??解：y的6階導數


  ??=C(6，0)sinx六階導數·x2+C(6，1)sinx五階導數·2x+C(6，2)sinx四階導數·2

  ??=x2sin(x+6π/2)+12sin(x+5π/2)+30sin(x+4π/2)

  ??=-x2sinx+12sx+30sinx

  ??2.3高階導數就到這裏。


  ??看2.4隱函數及由參數方程確定的函數求導

  ??這第四節很重要。


  ??這有兩個話題，一個是隱函數求導，一個是由參數方程確定的函數的求導。


  ??這節很重要就留到明天看吧。我想想今天學了什麽啊，先是解決了四個反三角函數，反函數求導法則及證明昨天看了，就是倒數關係嘛。然後就是複合函數求導法則，定理，證明，例子，於是就總結了初等函數求導。然後我回顧三角函數相關的公式，還中學不努力的賬，但是反三角、餘切、正割、餘割我中學也沒咋學啊。中學老師的鍋。然後就是高階導數這一節，定義，然後是方法及其例子。


  ??……


  ??群裏麵馬濤叫著什麽數學題20個錯五個，這他喵是抱怨還是炫耀？艸！於是馬飛當即反擊。馬負乘仍然不發言。我則窺屏。


  ??……


  ??高中女同學給我大四了想考研的說說點讚評論加油，還蠻想她的。也不是特別想吧，也就一般想。我就是這樣，某種聯係出現才會激發情感，普通很少激發。除非是主動憶往昔崢嶸歲月稠時。


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