第四百四十四章 素數無限的證法

  444章


  關於「素數有無窮多個」的證明方法，目前最被認可的是數學家歐里幾得在《幾何原本》第 9 卷的第 20 個命題列出的證明過程。


  因此，這一命題也因此被稱為了「歐幾里德定理」。


  歐里幾得的證法很簡單，也很平凡，因此得以進入初等數學的課堂。


  他首先是假設素數是有限的，假設素數只有有限的n個，最大的一個素數是p。


  然後設q為所有素數之積加上1，那麼，q=（ 2×3×5×…×p ）+1不是素數，那麼，q可以被2、3、…、p中的數整除。


  而q被這2、3、…、p中任意一個整除都會餘1，與之矛盾。所以，素數是無限的。


  這個古老而又簡便的證明法，即便時隔兩千多年，都無法否認它的強大。


  …………


  「我覺得既然是比數量的話，那我們最好就在歐里幾得的證明法的基礎上進行變種，這樣浪費的時間估計會少一點。」


  「嗯，我也這麼覺得，畢竟我們只有半個小時的時間，我們三個至少每個人要想出來一個變種才有獲勝的希望。」


  「不不不，三個絕對不夠，其他學校也不都是一些無能之輩，我覺得要爭前三的話，起碼五個更穩妥！我們最多用二十分鐘的時間各自想出一個變種，然後我們三人最後十分鐘再合力看看還有沒有什麼其他的思路。」


  「好吧，那就這樣。」


  兩位隊友在激烈的討論著。在達成了一致意見后，便齊齊扭頭看向程諾。


  「程諾，你沒問題吧？」雖然時間緊迫，但兩人還是想問一下程諾的意見。


  「呃……，有一句話，我不知道當講不當講。」程諾撓撓頭道。


  兩人一愣，回道，「但說無妨。」


  「我們為什麼非要琢磨歐里幾得證明法的變種，而不去尋找新的方向進行證明呢？」程諾問道。


  程諾的話把兩人問的啞口無言。


  他們又何嘗不想去尋找另一個證明素數無窮命題的新方向。


  但這是在比賽，不是在搞研究。


  而衡量的標準是數量，也並非是質量。


  在歐里幾得證明法的基礎上進行變種，就像於是站立在巨人的肩膀上，無論是研究難度，還是研究時間，都會大大縮減。


  而尋找另一種證明方向，說起來簡單，但那可是一個從無到有的過程，艱辛無比。並且失敗的可能性極高。


  兩人沒有那勇氣，也沒有那信心嘗試去做那個開拓者。


  隊友苦笑，「不是我們不想，而實在是我們沒有那底氣說有那實力去做。就算我們三人合力，半小時的時間也未必能找到一個新的方向去證明素數無窮命題。」


  程諾聳聳肩，笑道，「不啊，我現在腦子裡就有許多新想法。」


  兩人默默對視一眼，皆是懷疑程諾話語的真實性。


  一人狐疑的問道，「程諾同學，那能不能隨便給我們舉幾個栗子？」


  程諾往篝火中心挪了挪，換了個舒服的坐姿，慢悠悠的開口，「當然沒問題。」


  程諾豎起了一根手指，「第一個，利用互素序列進行證明。」


  兩人也很好奇程諾究竟會說些什麼，豎起耳朵傾聽。


  「你們想一下，假如能找到一個無窮序列，其中任意兩項都是互素的，即所謂互素序列，那就等於證明了素數有無窮多個——因為每一項的素因子都彼此不同，項數無窮，素因子的個數、從而素數的個數，自然也就無窮。」


  「那什麼樣的序列既是無窮序列又是互素序列？」一人忍不住問道。


  程諾打了響指，笑呵呵的開口說道，「其實這個序列你們應該都聽說過，數學家哥德巴赫在給數學家歐拉的一封信中，提到了一個完全由費馬數：Fn = 2^2^n + 1 (n = 0， 1，.……)組成的序列這個概念，通過Fn - 2 = F0F1···Fn-1這個公式，可以證明費馬數之間是彼此互素的。」


  「以上，利用費馬數組成的序列，就可以輕鬆得到素數無限的一個證明法。」程諾語氣停頓了一下，開口說道，「下面我說第二個。」


  「等一下！」一位隊友大聲叫停了程諾，急忙從背後的書包里拿出一摞草稿紙，將程諾提出的第一個證明法記下以後，才不好意思的對程諾說道，「你繼續吧。」


  他這麼大聲，自然引起了旁邊許多學校的注意。


  於是當眾人看到劍橋大學這邊兩位天資橫溢的博士生，此時卻宛若小學生一般，仰著頭期待著那邊程諾講話，皆是一臉的疑惑之色。


  但時間緊迫，眾人的視線只是在劍橋大學的隊伍上停留了幾秒時間，便匆匆接著自己的埋頭苦算。


  「呃，那我接著說。」程諾接著說道，「我第二個想出的辦法是利用素數的分佈進行求證。」


  「法國數學家阿達馬和比利時數學家瓦萊-普森於 1896 年證明的素數定理中指出，N 以內的素數個數π(N)的漸近分佈為π(N)~ N/ln(N)，N/ln(N)隨 N 趨於無窮……」


  「……由上，可得知對任意正整數 n ≥ 2，至少存在一個素數 p 使得 n amp;lt; p amp;lt; 2n。」程諾邊說，一旁那位隊友便在紙上唰唰的記著，雙眼中滿是掩飾不住的興奮之色。


  本以為程諾能提出一個新方向的證明方法，已經是實屬難得，可未曾料想，程諾一口氣直接提出了兩個。


  但程諾讓兩人的驚訝還在繼續。


  程諾瞥見記錄的那位隊友已經記完，清了清嗓子，開口道，「再說第三個。」


  「還有？」隊友詫異出聲。


  「當然還有。」程諾笑呵呵的說道，望著揉著手腕的隊友，「這才哪到哪！」


  「第三種，利用代數數論的知識證明。利用代數數論手段證明素數有無窮多個的出發點之一是利用所謂的歐拉φ函數。」


  「對任一正整數 n，歐拉φ函數的取值φ(n)定義為：φ(n):=不大於 n 且與 n 互素的正整數的個數。對任一素數 p，φ(p)= p - 1，這個是因為 1，.……， p - 1 這 p - 1 個不大於 p 的正整數顯然都跟 p 互素。」


  「然後，對兩個不同的素數 p1 和 p2，φ(p1p2)=(p1 - 1)(p2 - 1)，這是因為……」