第三百八十五章 Lipschitz函數
385章
《黎曼流形上Fritz John必要最優性條件》！
這是程諾未來兩個月內要研究項目的擬定課題。
菲涅爾教授在小隔間內簡短的對程諾和赫爾說了一些需要注意的事項之外，便讓兩人拿著文件回去做做準備，次日再正式開始研究課題。
程諾自然是沒有意見。
他也想趁這點時間，了解一下課題相關的一些知識。
雖然他的任務可能只是給菲涅爾教授打打下手，但做好充足的準備總歸是沒錯的。
程諾坐在辦公桌上，一隻手撐著下巴，另一隻手翻著菲涅爾給他的文件。
黎曼流形這個課題，是由米國的克雷數學研究所直批的2022年50個國家重點數學科研項目之一。
這五十個數學科研項目，無論是在項目難度，還是重要程度，都屬於世界前列。
實際上，作為當今世界數學領域最發達的幾個國家之一，米國的克雷數學研究所就是擔任引領世界數學前沿的作用。
在加上克雷數學研究所財大氣粗的特性，這五十個國家重點數學科研項目，每個給出了十萬美元的資金支持。
並且，擔任這五十個科研項目的研究工作的數學家，全部屬於世界頂級的數學家。
就如程諾現在的老闆菲涅爾教授，作為幾何學領域的超級大牛，五十個項目中有關幾何學領域的三個課題，克雷研究所將最難的那一個交給他來做。
也就是程諾手中拿到的這個黎曼流形的課題。
一上午的時間，程諾一邊閱讀著文件，一邊在網上找著相關的論文讀。
難！真的難！
這是程諾研究一上午給出的結果。
他終於知道為什麼克雷數學研究所為什麼要把這個課題交給菲涅爾教授來做了，因為當今數學界，能保證在兩個月內搞定這個課題的數學家，恐怕不會超過五指之數。
而菲涅爾教授，顯然是最穩妥的那一個。
給予的科研時間太短不說，網上有關這方面的論文和資料實在是太少，也就意味著，他們幾乎是從零開始。
黎曼流形，本來就是幾何學領域研究的超難點，再加上函數論和微分的相關知識，足以叫世界上大部分數學家抓狂。
捫心自問，要是把這個項目交給程諾自己一人來完成，至少三年起步。
「看來暫時，還是要牢牢抱住菲涅爾教授這根大腿啊！」程諾感慨了一句，繼續埋頭收集起資料。
………………
次日，程諾早早來到辦公室。
菲涅爾教授一到，程諾和赫爾再次被叫到那間小隔間里。
「準備的怎麼樣？」菲涅爾教授上來就開口問道。
赫爾苦笑一下，「老師，網上關於這方面的資料確實太少了，圖書館那邊也沒有相關度太高的書籍，所以……」
菲涅爾教授擺擺手，似乎預料到這種情況。
「目前這個方向的數學研究，確實是一片空白，所以才需要我們去研究，去填充！」菲涅爾教授的目光在兩人的臉上緩緩掃過，「所以我昨天說，你們要做好心理準備。這是一場硬仗！」
「從零開始，沒有任何可以借鑒的資料，而且時限……只有兩個月！」
菲涅爾教授繼續說道，「我不會說什麼加油激勵的話，只希望你們兩個不要忘記來這的目的，想要退出，我隨時歡迎。」
「多餘的話說道這裡，現在我們來談談課題的事情。」
菲涅爾教授讓兩人找位置坐下，搬過來一台筆記本電腦，打開一份PPT，指著道，「這是我做的一個簡短的課題研究流程。」
「這個項目，我做主導，你們兩個的任務就是輔助我，解決一些難度不算大的環節。」
程諾和赫爾點點頭，表示知道。
以他們兩個的能力，還不足以撐起這個項目的框架。
菲涅爾教授繼續做著講解，「這個項目的擬定名稱，叫做黎曼流形上Fritz John必要最優性條件。那就首先要明白，何謂黎曼流形，何謂Fritz John必要最優性條件！」
「黎曼流形這個概念不用說，而Fritz John必要最優性條件對你們來說應該比較陌生。」他先把目光望向程諾，「程諾，你了解這個概念嗎？」
程諾不假思索的回答，「所謂的Fritz John必要最優性條件，便是指minf(x)，st.{g(x)≤0，h(x)=0，x∈M的必要最優性條件。」
「不錯，這就是Fritz John必要最優性條件。你們也看出來了，這個Fritz John必要最優性條件如果直接去研究的話，不僅變數極多，函數方程不好定義之外，還存在推導過程中公式複雜的問題。」
「也因此，我們需要轉換一下思路。」
菲涅爾教授翻到下一頁PPT，上面只寫著一行公式：
f:M→R，g:M→R^l，h:M→R^n
程諾掃了一眼，恍然大悟一聲，「Lipschitz函數？！」
菲涅爾教授瞥了一眼程諾，目光帶著一絲讚賞，「準確的說，是局部Lipschitz函數！」
Lipschitz函數，是指若f(x)在區間I上滿足對定義域D的任意兩個不同的實數x1、x2均有：∥f(x1)-f(x2)∥lt;=K∥x1-x2∥成立，必定有f(x)在區間I上一致連續.
程諾心中，已經大概明白了這個項目菲涅爾教授的破題點是什麼了。
菲涅爾教授繼續他的理論講解，「在這個公式中，我們可以把M當做一個m維的黎曼流形。」
「艾頓可的那篇關於Hilbert空間中MP問題的論文，你們兩個都應該有讀到過吧？」
兩人同時點頭。
「那就好了，類比一下，我們就可以把MP問題從線性的空間擴展到微分流形上，而微分流形又是非光滑的，那麼我們就可以有如下的框架構建。」
下一張 PPT展示在兩人面前。
「第一步，在黎曼流形上建立非光滑分析工具，即在流形上定義廣義方嚮導數和廣義梯度。」
「第二步，討論廣義梯度的性質。」
「第三步，在前兩步的基礎上，討論黎曼流形上問題(MP)的Fritz John型最優性條件．」
「第四步，……」
框架早已被菲涅爾教授搭建好。
而程諾在看到那一條條井然有序的過程步驟，有一種醍醐灌頂的感覺。
原來，這個項目，應該這樣去做！