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第一百零五章 魔方矩陣

  魔方矩陣,又稱幻方,縱橫圖。


  是指由1~N^2共N^2個數排列成的有相同的行數和列數,並在每行每列、對角線上的和都相等的一個N階矩陣。


  在《射鵰》中郭黃二人被裘千仞追到黑龍潭,躲進瑛姑的小屋。瑛姑出了一道題:數字1~9填到三行三列的表格中,要求每行、每列、及兩條對角線上的和都相等。這道題難倒了瑛姑十幾年,被黃蓉一下子就答出來了。


  4 9 2

  3 5 7

  8 1 6

  這就是一個最簡單的三階平面魔方矩陣。


  而今天老唐出的這道題,是更加高難度的五階魔方平面矩陣。


  運算難度,不知道比三階魔方矩陣高了多少。


  不過,魔方矩陣既然被數學家們定義出來,那自然有一套起獨特的運算規律。


  根據N的數值,可以分為三種情況。


  當N為奇數,當N為4的倍數,當N為其他偶數!

  老唐這道題是求5階平面魔方,很顯然,可以套用N為奇數的運算規律。


  程諾在腦海里默默回憶起當N為奇數時平面魔方的填寫規律。


  「當 N 為奇數時

  ①將1放在第一行中間一列;

  ②從2開始直到n×n止各數依次按下列規則存放:


  按 45°方向行走,如向右上


  每一個數存放的行比前一個數的行數減1,列數減1

  ③如果行列範圍超出矩陣範圍,則迴繞。


  例如1在第1行,則2應放在最下一行,列數同樣減1;

  ④如果按上面規則確定的位置上已有數,或上一個數是第1行第n列時,


  則把下一個數放在上一個數的下面。」(注①)


  「所以說,正確的答案應該是……」


  程諾在自己的腦海里構建宮格模型。很快,便將25個數字填入其中。


  唰唰唰唰~~

  在同學們眼中,只見程諾沒有任何的猶豫,拿著粉筆在黑板上筆走龍蛇,粉屑飛揚。中間沒有任何停頓,一氣呵成!

  舉手抬足間,透露著無比強大的自信。


  「好了,老師,我填完了。」程諾轉身,將粉筆頭扔在講桌上,微笑著對老唐說道。


  「好,我看一下,你填的對不對?」老唐抱著一種好奇心,看向黑板上已經被填滿的宮格。


  15 8 1 24 17

  16 14 7 5 23

  22 20 13 6 4

  3 21 19 12 10

  9 2 25 18 11

  全部正確!!

  25個數字的位置,和正確答案如出一轍。


  每一行,每一列,每一條對角線的和,都是65!~

  老唐驚訝的看了神色如常的程諾一眼。然後在全班同學滿含期待的目光下宣布,「程諾同學的答案……是正確的!」


  嘩~~

  全班同學盡皆嘩然。


  果然啊,程諾這個傢伙,還是一如既往的強悍呀!


  比不過,實在是比不過。


  他們和程諾的大腦配置,簡直不在一個水平層面上。


  學霸,是只配被學渣所仰望的存在!

  老唐望著程諾說道,「既然程諾同學是第一個把這道題目解出來的同學,那麼我那份『特殊』獎勵就歸程諾同學所有了。程諾,你能不能給大家講一下你是通過何種方法把這題解出來的?」


  「沒問題。」程諾點頭,轉身指著那道題道,「其實這道題很簡單的。」


  這道題……很簡單?


  好吧,你是學霸,你說了算。


  全班同學翻翻白眼。


  程諾聳聳肩,神色如常的繼續講道。「在講這道題之前,我先要給大家講一個模型,叫做魔方矩陣!」


  為什麼程諾能知道魔方矩陣這個東西?

  按理說,高中方面,不會涉及這方面的知識。


  但程諾是誰?他可是學霸!

  學霸的一大特徵就是,永遠不會滿足只學習課內那點知識!

  還記得程諾從書店買回的那一大堆關於世界數學難題的書嗎?其中一個難題的推理過程中,就用到了這個魔方矩陣。程諾就順便將它記下來了。


  程諾站在講台上,將魔方矩陣的三種解法都講了一遍。


  「聽了這個定理之後,大家是不是覺得這道題簡單了許多。首先,第一行中間那個數字肯定是1,數字2的位置……」


  講台下同學們聽得頭暈目眩,不明覺厲,程諾倒是在講台上講的津津有味。


  「好了,我想說的就是這些,謝謝大家!」說完,程諾走下講台。


  啪啪啪~~

  全班同學下意識的鼓掌。


  老唐同志待程諾走下講台後,站在講桌前一臉尷尬。


  妹的!把我想要講的都講完了,讓我講啥?!

  本來,老唐同志就想利用這個題目引出魔方矩陣,在高考前發散一下學生的思維。


  可現在……


  呃……好吧,程諾把魔方矩陣講的比我還詳細,那我這個當老師的還是不獻醜了吧。


  「好了。同學們,我們拿出上周發的那套衡水真題,我們講一下那套試卷。」老唐尷尬的咳嗽了一下,也不問同學們有沒有聽懂了,急忙轉移話題道。


  「哇,穆冷,程諾果然厲害呢。這樣的題都會!」蘇小小的明亮的眼裡充滿了小星星。


  穆冷的嘴角微微上揚,「這才是那個……桀驁的他啊!」


  …………


  「好了,下課。穆冷,程諾,你們兩個跟我來一趟辦公室。」


  伴隨著下課鈴聲,老唐剛好把最後一道題講完。


  程諾和穆冷對視一眼,皆是一頭霧水,不知道老唐找自己有什麼事,不過還是老老實實的跟著老唐走到辦公室。


  下樓梯的時候,程諾湊到穆冷身邊,語氣中略帶擔憂的小聲說道,「冷姐,你說是不是我們兩個談戀愛的事被老唐發現了?」


  穆冷淡淡的瞥了程諾一眼,一字一頓的開口:「你-說-呢!」


  程諾縮了縮脖子,一臉訕訕,「開玩笑,開玩笑。」


  「不過,冷姐,我們兩個的事你真的不再考慮考慮嗎?你看,你是學霸,我也是學霸,學霸配學霸,我們兩個可謂是門當戶對。生出來的孩子也一定是學霸!」程諾握緊雙拳說道。


  穆冷抿了抿嘴唇,模稜兩可的說道,「高考後,我們在談論這個問題吧。」


  「好,我等你。」程諾淡淡一笑。


  ………………


  注①:魔方矩陣另外兩種情況的演算法。(正文字數已達2000字,這不是水字數,這是為了幫助大家學會這道題!!請大家理解作者的良苦用心。)

  (2)當N為4的倍數時


  採用對稱元素交換法。


  首先把數1到n×n按從上至下,從左到右順序填入矩陣

  然後將方陣的所有4×4子方陣中的兩對角線上的數關於大方陣中心作中心對稱交換(注意是各各子矩陣對角線上面的數),即a(i,j)與a(n+1-i,n+1-j)交換,所有其它位置上的數不變。(或者將對角線不變,其它位置對稱交換也可)

  (3)當N 為其它偶數時

  當n為非4倍數的偶數(即4n+2形)時:首先把大方陣分解為4個奇數(2m+1階)子方陣。


  按上述奇數階魔方給分解的4個子方陣對應賦值


  上左子陣最小(i),下右子陣次小(i+v),下左子陣最大(i+3v),上右子陣次大(i+2v)

  即4個子方陣對應元素相差v,其中v=n*n/4

  四個子矩陣由小到大排列方式為①③④②


  然後作相應的元素交換:a(i,j)與a(i+u,j)在同一列做對應交換(jamp;amp;amp;lt;t-1或jamp;amp;amp;gt;n-t+1),


  注意其中j可以去零。


  a(t-1,0)與a(t+u-1,0);a(t-1,t-1)與a(t+u-1,t-1)兩對元素交換

  其中u=n/2,t=(n+2)/4 上述交換使每行每列與兩對角線上元素之和相等。


  …………


  PS:解題步驟我已經詳細到這種程度了。如果你們再不會……我也沒辦法了。

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