第一百一十五章 最後一戰（一）

  美國東部時間7月12日上午8點，IMO第二天的考試正式開始。


  坐在考場里，張偉還在想著程青鋒他們——也不知道那幾個傢伙，會不會受昨天記者們的影響。


  不過話說回來，這都已經進了考場了，擔心再多好像也沒啥鳥用，他現在唯一能管得了的，就只有他自己了。


  收拾好心情，張偉開始專心對付起手上的試卷。


  把三道題都審了一遍，整體難度比昨天的卷子大了不少——特別是最後那到壓軸題，難得不止一點點啊！

  最難的當然是放在最後，先做前面的：

  第一題平面幾何；

  第二題代數。


  雖然費了些手腳，但總的來說還算順利，做完兩題總共花了不到兩個小時。


  接下來就是最後一道壓軸題，時間還有兩個半小時，題目如下：

  設n是一個正整數，考慮S={(x,y,z)lx,y,z∈{0,1,2,……,n},x+y+z>0}是三維空間中(n+1)3-1個點的集合。問：最少要多少個平面，它們的並集才能包含S，但不含（0，0，0）？

  這應該是道糅雜了空間幾何與代數的題，在IMO的壓軸題中，這種多知識交叉的題型出現的頻率還是挺高的。


  題目沒有給出已知圖形，需要考生自己在腦海中建立幾何模型，這無疑增加了題目的難度。


  張偉首先在腦海中將空間模型勾勒了一下，然後又在草稿紙上開始比劃，可比劃來比劃去，對解題還是沒有什麼思路。


  想把幾何的部分暫時放一邊吧，但由於卷子上沒有給出圖形，這要放下了，等會兒要撿起來就得再在腦海中構建一邊——這無疑是件相當浪費時間和精力的事兒。


  於是，只得硬著頭皮繼續研究幾何模型，然後將近二十分鐘就這樣過去了.……

  「沒有頭緒啊……」晃了晃被模型攪得發脹的腦袋，張偉終於放棄了從幾何部分做突破的嘗試，他知道不能再繼續鑽幾何的牛角尖了。


  考奧數，最怕一條路走到黑，不撞南牆不回頭的精神，在考場上可要不得。


  張偉又把題目細細審了一遍，這次很快就有了發現：

  顯然可以構造3n個平面，滿足其並集包含S但不包含（0，0，0），例如：平面x=i,y=i和z=i(i=1,2,……,n)；再如平面集x+y+z=k(k=1,2,……,3n).

  但「3n」這個答案是不是滿足要求的最小值呢？張偉覺得應該是，但是光覺得還不行，他得證明的確是。


  那麼接下來的思路，就是要證明最少要「3n」個平面，它們的並集才能包含s，但不含（0，0，0）。


  假設結論存在反推過程，最容易想到的是使用歸納法，而張偉也是這麼操作的。


  引理考慮K個變數的非零多項式，對K用歸納法證明引理，似乎行得通！當K=0時，由P≠0知結論成立.假設結論對k-1成立，再證明結論對k成立……

  為了證明一個假設，後面需要證明更多個假設——這就像是對女朋友撒了一個謊，後面就需要用更多的謊言來圓這個慌！


  無限循環簡直看不到頭啊！

  一頓猛如虎的操作證明之後，還要證明degR≥nk！


  但是特么到底要怎麼證明degR≥nk啊！

  思路被卡在這裡，張偉有些躁了，再看看時間——11：30！最後這道題，已經花了一個半小時了，而剩餘的時間，也只有一個小時了！


  「意識分裂！」豪不猶豫的動用了大殺器，雖然還沒想好該怎麼分配兩個意識，但再不用就沒機會了！

  這也是張偉大意了，實在是昨天的考試過於簡單，三道題做下來才花了兩個多小時，完全沒給「意識分裂」登場的機會！


  原以為IMO的難度不過爾爾，沒想到今天這道壓軸題直接就難出天際了——不帶這樣玩的！


  「不能急！」時間已經比較趕了，但張偉並沒有拿起筆就干，越是這種時候越是要冷靜！「歸納法現在還不能證明一定能走的通，也許該考慮考慮別的思路了.……」


  心裡有了計較。


  孤注一擲，贏了固然痛快，但要是輸了呢？

  張偉不敢冒這個險，所以他決定用一個意識繼續使用歸納法證明——以此為主；一個意識嘗試新的思路，作為可能的備選。


  兩個意識瘋狂的運轉：


  證明degR≥nk，將多項式R寫成y的降冪形式如何？R（x1，x2，.……，x1，1，y）=Rn（x1，x2，.……，xk-1）yn+Rn-1（x1，x2，.……，xk-1）yn-1+……+R0（x1，x2，.……，xk-1）.

  除了容易想到的歸納法，有沒有別的辦法證明最少要「3n」個平面呢？比大小的話，差分法是個不錯的選擇，在這一題行不行得通呢？


  歸納法的證明過程，越到後面算的越是艱難，反而以差分法的思路來往下推理，過程似乎並沒有很複雜！


  「要轉變思路嗎？」張偉在猶豫，「只有不到半個小時，現在再改用差分法求證，時間肯定來不及了，而且還不知道是不是行得通！」


  時間在猶豫中，一分一秒的流逝，而歸納法的證明過程，也越來越陷入停滯。


  「不能再等了，歸納法已經走不通了！」張偉還是決定改用差分法思路了，但他做出這個決定的時候其實並不堅決——因為時間真的不多了！


  「來得及嗎？」腦子裡剛剛冒出這個想法，下一秒就被張偉壓了下去——因為已經容不得他再猶豫了！

  差分法：記多項式p(x)次數為N，定義差分運算元△滿足△p(x)=p(x+1)-p(x),記I為恆等雙子。


  根據拉格朗日中值定理可知：△p(x)=p(x+1)-p(x)=p』(ε)

  說明每做一次差分，次數降低1，由此可知，當n>N時，n次差分之後.……令Ap(x)=p(x+1)，則△=A-I，於是.……

  差分法的思路不斷往下延伸下去，好像真的行得通！

  但是時間似乎來不及了！


  「快一點！再快一點！」


  設有m個平面aix+biy+ciz-di=0滿足題意，其中di≠0……

  「時間還是不夠！時間還是不夠！」瞟了一眼電子錶——12：18！


  只剩十二分鐘，張偉頓時一陣心慌，腦子裡的思路都差點斷了！

  「穩住，不能慌.……我可是有系統的男人！我有『超級知識光環』！我有『意識分裂』！我有……對，我有『瘋狂獻祭』！我還有『瘋狂獻祭』！」


  一個抽中后一次都沒用過的東西，這時候被張偉想起來了。